应用泛函分析复习小结.doc

.第一章 实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学与其它学科中有直接的应用第一节 集合与其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度与可测函数 / 1第六节 勒贝格积分第一节 集合与其运算1） A∪A=A,A∩A=A;2） A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ ；3）若 A⊂B ，则 A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ ；4) 设 X 为基本集，则A ∪ AC= X , A ∩ AC=Φ, ( AC)C= A, A \ B = A ∩ BC又若 A⊂B ，则 AC ⊃ BC 集合的运算法则：2交换律A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ；结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C ；( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C ；分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ；( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ；( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .定理 1.1设 X 为基本集，Aα为任意集组，则1)( U Aα )C = I ( Aα )C(1.6)α∈Iα∈I2)( I Aα )C = U ( Aα )C(1.7)α∈Iα∈IA \ ( A \ B)= A I B3第二节 实数的完备性2.1 有理数的稠密性2.2 实数的完备性定理定义 2.1(闭区间套)设{[an ,bn ]}(n = 1,2,L, ) 是一列闭区间， an < bn ，如果它满足两个条件：1）渐缩性，即[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃L⊃[an,bn]⊃L;2) 区间长度数列{bn − an }趋于零，即 lim(bn−an)=0n→∞4定理 2.1 (区间套定理)设{[an ,bn ]} 为实数轴上的任一闭区间套，其中 an 与 bn 都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ 属∞于一切闭区间[an ,bn ](n = 1,2,L) ， 即ξ ∈ ∩[an ,bn ]，并且n=1lim an = lim bn = ξn→∞n→∞利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。

我们先介绍一个有关的概念命题 2.1 设{xn }是一个数列，则 limxn=a 的充分必要条件是：n→∞{xn }的每一个子列都收敛而且有相同的极限值 a .5定理 2.2 （列紧性定理）√任何有界数列必有收敛子列定义 2.3设{xn}是一个数列，如果当m,n→∞时，有xm−xn→0，那么就说{xn}是一个基本数列或柯西数列定理 2.3柯西（Cauchy）收敛原理(完备性定理)√数列{xn }收敛的充分必要条件是，它是一个基本数列定理 2.4 (单调收敛定理)√单调有界数列（即单调增有上界数列或单调减有下界数列）必然收敛定义 2.4 (确界)设A是一个数集，M是A的一个上（下）界如果对任意的ε>0，必存在6A 中的数 xε，使得 xε> M − ε(xε< M +ε)，那么就称 M 为数集 A 的上（下）确界定理 2.5确界存在定理(不讲)由上（下）界的数集必有上（下）确界定义 2.5 (覆盖)设[a,b]是一个闭区间，Α={σa|a∈I}是一个区间族，其中区间σa可以是开的，闭的或者半开半闭的， 而指标集 I 可以是有限集，也可以是无限集如果[a,b] 中的每一点必含于区间族 Α 的某一区间σa 之中，那么就称 Α 覆盖区间[a,b] ，或者区间[a,b] 被 Α 覆盖。

定理 2.6 （有限覆盖定理）(不讲)若闭区间[a,b] 被区间族 Α 覆盖，则能从 Α 中选出有限个开区间覆盖[a,b] 7上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：从定理2.1 (区间套定理)出发，推出定理2.2（列紧性定理），又从定理2.2推出定理 2.3 柯西（Cauchy）收敛原理 (完备性定理)，又从定理 2.3 推出定理2.4(单调收敛定理)，又从定理 2.4 推出定理2.5 确界存在定理)，最后，从定理 2.5 推出定理2.6（有限覆盖定理）第三节 可数集与不可数集3.1 映射定义 3.1设A与B是两个非空集合，如果按照一定的法则f，对于A中的每个元8x ，都存在B中的一个确定的元y与 x 相对应，那么我们称f为定义A上取值于B中的一个映射，记作 y=f(x) y 称为 x 在映射 f 下的象，对于固定的 y ， A 中适合关系式y = f (x)的 x 的全体称为y的原象集A称为映射 f 的定义域， f ( A)={ f (x) | x ∈ A}称为映射 f 的值域，一般 f(A)⊂B 为方便起见，今后常将把从集 A 到 f(A)⊂B 的映射写成f : A → B特别，若 B 是一个数集，此时映射 f 称为泛函；若 A 与 B 都是数集， f 就是通常的函数。

93.2 可数集与不可数集，集合的势定理 3.1有理数集是可数集定理 3.3可数个可数集的并是可数集定理 3.4区间[0, 1]中的点是不可数的第四节 直线上的点集与连续函数本节先讨论直线上的点集的基本性质，然后，在此基础上研究4.1 开集、闭集与其性质104.2 开集的构造4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性4.4 函数列的一致收敛性4.1 开集、闭集与其性质定义 4.1设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点，我们把直线上包含 a 的任一区间 (α,β) 称为点 a 的邻域；设 a 是 E 中的点，如果存在着 a 的一个邻域(α , β ) 整个包含于E，则称a是E的点；如果点集E的每一点都是它的点，则称E 是一个开集定理 4.1开集具有以下的性质：1） 空集 Φ 与直线 R 的本身都是开集；112） 任意多个开集的并是开集；3） 有限多个开集的交是开集.定义 4.2设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点(不一定属于E)如果 a 的任一邻域 (α,β) 中含有 E 中不同于 a 的点，则称 a 为 E 的极限点（或聚点）定理 4.2点a是集E的极限点的充要条件是存在E中的点列{an}(an≠a)，使lim an = an→∞定义 4.3设E为直线上的点集，由E的所有极限点构成的集称为E的导集，记作 E' ，称集 EUE' 为 E 的闭包, 记作 E 。

若集 E 的余集 EC=R\E 为开集，则称 E 为闭集.定理 4.3非空集E是闭集的充要条件是E'⊂E定理 4.4集合E为闭集的充要条件是E=E12定理 4.5闭集具有以下基本性质1） 空集 Φ 与全直线 R 是闭集；2） 任意多个闭集的交是闭集；3） 有限多个闭集的并是闭集.4.2 开集的构造定义 4.4设G是直线R上的一个有界开集，如果开区间(α,β)满足条件：1) (α,β) ⊂ G2) α ∉ G,β ∉ G则称 (α,β) 为开集G 的一个构成区间定理 4.6（开集的构造原理）设G为直线上的任意非空有界开集，则G可以表13示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即G =U(α k, βk)k∈I其中 I 为有限的或可数的指标集.4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去定义 4.5设E是直线R上的点集，f(x)是定义在E上的一个函数(即映射f : E → R )， x0是E中的任意一点如果对于E中任何收敛于 x0的点列{xn}，都有lim f (xn ) = f (x0 )xn→x0那么称函数 f(x) 在点 x0 连续。

如果 f(x) 在 E 中每点都连续，那么称 f(x) 在集 E 上连续 定理 4.7设F是直线R上的有界闭集，f(x)是定义在F上的连续函数，则14(1) f (x)在集F上必有界，(2) 并且能取得它的最大值（上确界）与最小值（下确界）定义 4.6设 f(x) 定义在点集 E⊂R 上，如果对于任意的ε>0 ，都能找到δ(ε)>0（注意δ(ε) 与点 x 无关），使得对于 E 中的任意两点 x1 与 x2 ，只要x1− x2<δ ，就有f (x1)− f (x2)< ε（1.13）成立，则称函数 f(x) 在集 E 上一致连续定理 4.8设 f(x) 在有界闭集 F⊂R 上连续，那么 f(x) 在 F 上必一致连续4.4 函数列的一致收敛性定义 4.7设{fn(x)}是定义在点集E⊂R上的函数列如果存在E上的函数f(x)，15对于任意给定的ε>0 ，都能找到正整数 N(ε) ，使得当 n>N(ε) 时，不等式fn(x)− f (x)< ε对于所有 x∈E 的成立，那么就称 fn(x) 在集 E 上的一致收敛于 f(x) 定理 4.9定义在点集E⊂R上的函数列{fn(x)}一致收敛于f(x)的充要条件是：对于任给的ε>0 ，存在正整数 N(ε) ，使得当 m,n>N(ε) 时，不等式fm(x)− fn(x)< ε（1.17）对于所有 x∈E 的成立.定理 4.10设{fn(x)}是E上的一个连续函数列，如果在E上它一致收敛于函数f (x)，那么极限函数 f (x)也在集 E 上连续。

定理 4.11设{fn(x)}是区间[a,b]上的连续函数列，若{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f (x)，则极限函数 f (x)在[a,b]上可积，并且16∫b f (x)dx =lim∫bfn(x)dx(1.18)an→∞ a或写成bb∫a[limn→∞fn (x)]dx=limn→∞∫afn (x)dx第五节 点集的勒贝格测度与。