乘法公式的灵活运用.doc

乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(*+y)(-y+*)=*2-y2② 符号变化，(-*+y)(-*-y)=(-*)2-y2= *2-y2③ 指数变化，(*2+y2)(*2-y2)=*4-y4④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤ 换式变化，[*y+(z+m)][*y-(z+m)]=(*y)2-(z+m)2=*2y2-(z+m)(z+m)=*2y2-(z2+zm+zm+m2)=*2y2-z2-2zm-m2⑥ 增项变化，(*-y+z)(*-y-z)=(*-y)2-z2=(*-y)(*-y)-z2=*2-*y-*y+y2-z2=*2-2*y+y2-z2⑦ 连用公式变化，(*+y)(*-y)(*2+y2)=(*2-y2)(*2+y2)=*4-y4⑧ 逆用公式变化，(*-y+z)2-(*+y-z)2=[(*-y+z)+(*+y-z)][(*-y+z)-(*+y-z)]=2*(-2y+2z)=-4*y+4*z例1．已知，，求的值。

解：∵∴=∵，∴=例2．已知，，求的值解：∵∴∴=∵，∴例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知*-y=2，y-z=2，*+z=14求*2-z2的值〖解析〗此题若想根据现有条件求出*、y、z的值，比较麻烦，考虑到*2-z2是由*+z和*-z的积得来的，所以只要求出*-z的值即可解：因为*-y=2，y-z=2，将两式相加得*-z=4，所以*2-z2=（*+z）(*-z)=14×4=56例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几.〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。

观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =24096 =161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6例7．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2´100´3+32=10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2´200´2+22=40000-800+4 =39204例8．计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3*+y-2)(3*-y+2)解：（1）原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b]=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 （2）原式=[3*+(y-2)][3*-(y-2)]=9*2-( y2-4y+4)=9*2-y2+4y-4例9．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。

2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值4）已知，求的值分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个解：（1）∵a2+b2=13，ab=6\(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2´6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1 （2）∵(a+b)2=7，(a-b)2=4\ a2+2ab+b2=7 ①a2-2ab+b2=4 ②①+②得 2(a2+b2)=11，即①-②得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）由，得 即 即例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗.为什么.分析：由于1´2´3´4+1=25=52 2´3´4´5+1=121=112 3´4´5´6+1=361=192…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。

解：设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数则n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2∵n是整数，\ n2，3n都是整数 \ n2+3n+1一定是整数\(n2+3n+1)是一个平方数 \四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数例11．计算 （1）(*2-*+1)2 （2）(3m+n-p)2解：（1）(*2-*+1)2=(*2)2+(-*)2+12+2× *2×(-*)+2×*2×1+2×(-*)×1=*4+*2+1-2*3+2*2-2*=*4-2*3+3*2-2*+1 （2）(3m+n-p)2=(3m)2+n2+(-p)2+2×3m×n+2×3m×(-p)+2×n×(-p)=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np分析：两数和的平方的推广(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)×c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力例1. 计算： 解：原式(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题例2. 计算：解：原式例3. 计算：解：原式三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题例4. 计算：解：原式四、变用: 题目变形后运用公式解题例5. 计算：解：原式五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力例6. 已知，求的值解：例7. 计算：解：原式例8. 已知实数*、y、z满足，则（）解：由两个完全平方公式得：从而三、学习乘法公式应注意的问题　 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算(-2*2-5)(2*2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2*2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2*2”则是公式中的b．解：原式=(-5-2*2)(-5+2*2)=(-5)2-(2*2)2=25-4*4．例2计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3计算(2*+y-z+5)(2*-y+z+5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2*”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2*+5)+(y-z)〕〔(2*+5)-(y-z)〕=(2*+5)2-(y-z)2=4*2+20*+25-y+2yz-z2．例4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2　　分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2=[(a3-1)(a6+a3+1)]2=(a9-1)2=a18-2a9+1例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6计算(2*+y-3)2解：原式=(2*)2+y2+(-3)2+2·2*·y+2·2*(-3)+2·y(-3)=4*2+y2+9+4*y-12*-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知*+y=10，*3+y3=100，求*2+y2的值；(2)已知：*+2y=7，*y=6，求(*-2y)2的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：*2+y2=(*+y)2-2*y，*3+y3=(*+y)3-3*y(*+y)，(*+y)2-(*-y)2=4*y，问题则十分简单．解：(1)∵*3+y3=(*+y)3-3*y(*+y)，将已知条件代入得100=103-3*y·10，∴*y=30故*2+y2=(*+y)2-2*y=102-2×30=40．(2)(*-2y)2=(*+2y)2-8*y=72-8×6=1．例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2　　（五）、注意乘法公式的逆运用例9计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．　　分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c。