高考数学易错题第4章导数及其应用易错题.doc

第4章导数及其应用易错题易错点1.误解导函数与单调区间的关系【例1】f(x)是于(兀)在区间［d,b］的导函数,则“在区间@上)内f(x) > 0”是“/(x)在该区间内单调 递增”的 条件.【错解】充要【错因】一般地,由f\x) > 0能推tB/(x)为增函数,反之，则不一定.如函数/(%) = %3在区间(-co,+oo) 上单调递增，但是f(x) > 0,因此f\x) > 0是函数/(兀)为增函数的充分不必要条件.【正解】充分不必要【纠错训练】若函数f(x) = ax3-x在/?上为减函数，求实数的取值范围.【解析】由f(x)=3ax2 -1 < 0在/?上恒成立，・••当q = o时，/v)= -i

)为极值的必要条件当作充要条件. (“1) = 10 {a = 4 fa = -3【正解】r(x) = 3x2+2ax + h,依题意得胆丫 ，解得 或 ，［广(1) = 0 ［b = -ll ［b = 3〔a = 4当罷 时，r(x) = 3x2 + 8x-l 1 = (3x + H)(%-l),所以/(x)在x = l 处収得极值；［/? = -11当r =_3 时，/(x) = 3x2-6x + 3 = 3(x-1)2,此时 f(x)在兀=1 无极值.\b = 3 所以 a = —3,/? = 3 -易错点3・对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例3】己知函数f (x)的导函数广(X)的图像如左图所示，那么函数/(X)的图像最有可能的是【错解】选B,C,D【剖析】概念不清，凭空乱猜【正解】由导函数的图像,可得：当Jtw(—oo,—2)U(0,+oo)时,/ (x)<0,当xg(-2,0)时,f (力〉0, 且开口向下；则/(兀)在(-00-2)上递减，在(-2,0)±递增，在(0,-f-oo)递减；故选A.【纠错训练】函数尸/(兀)的导函数广(兀)的图象如右图所示,则函数y = f(x)的图象可能是()y 'VZV•, *Vyr\ . _\ / •r\ . 。

V/ * 0X 0x 0J J x0A.B.c.D.【解析】试题分析：由图像町知导数值先止后负，所以原函数先增后减，只有D符合.易错点4 •遗忘复合函数求导公式【例4】函数『二兀弋―”的导数为 •【错解】# = *一皿"【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变最的导数等于已知函数对中间变最的导数，乘以中间变 量对自变量的导数,即y； = x；・u； •【正解】y'=+兀但-曲)'=』-沁+ %e>-cosx (1 _ cosM =』一曲+兀 0Y®sin 兀=(1 +兀 sinx)』®"易错点5.切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线/(x) = 2x3 -3x,过点M(0,32)作曲线/(兀)的切线,求切线方程.【错解】由导数的几何意义知£ =.厂(0) = —3,所以曲线的切线方程为= -3x + 32.【错因】点M(0,32)根本不在曲线上，忽视切点位置致错.【正解1设切点坐标为N(兀,2兀：-3观)，则切线的斜率k = ff(x{}) = 6x~-3 ,故切线方程为 y = (6球一3)兀+ 32,又因为点N在切线上，所以2卅一3兀° = (6球一3)兀°+32 ,解得%0=-2,所以切线方程为y二21X+32.注意：导数的儿何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上.【纠错训练】已知函数f(x) = x3 +bx2 +ax + d的图象过点P (0, 2),且在点M (-1, /(-I))处的切线方程为6x — y + 7 = 0 ,求函数y = /(x)的解析式；解析:由/*(兀)的图象经过P(0, 2),知d二2,所以f(x) = x3 +bx2 +cx+2,f(x) = 3x2 + 2bx + c.由在 A/(-l,/(-l))处的切线方程是 6兀一 y + 7 = 0,知-6-/(-1) + 7二(),即/(-1) = 1,广(-1)"」*2b + c=6,即严-*3,解得 & 十 _3.故所求的解-l + b-c+2 = l. [b-c = 0,析式是 /(x) = x3 - 3x2 - 3x + 2.易错点6•忽视极值的存在条件致错a.b【例6】L1知函数f(x) = x3 + ax2 hx +a2在兀二1处有极值10,求a,b .分析：抓住条件“在X = 1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得•有两组值，是否都合题意需检验.f 错解】/r(x) = 3x2 + 2ax + b ,根据题意可得fro)=o1/(1) = 102a + b + 3 = 0 /+a+b+l=10【错因】极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号.【正解】fr(x) = 3x2 +2ax + b.根据题意可得广⑴=0/(1) = 102q + /? + 3 = 0即。

cr + a + b + l = 10而当\a2 =-3 b =3时，/'(兀) = 3〒_6x + 3 = 3(兀-厅，易得此时，.厂(兀)在x=l两侧附近符号相同，不合题意.当时，广（兀）=（3尤+ 11）（兀一1）,此时*,广（兀）在兀=1两侧附近符号相异，符合题意.所以g = 4, b = -\\.易错点7.混淆极值与最值是两个不同的概念致错【例7】求函数f（x） = x3-2x2+x在［一3, 3］上的最值.【错解】f\x） =3x2—4x+l= （3x—1） （x—1）,所以极值点为兀=1或兀=丄,乂 ・・・ /(1)=0, /(-)=—.3 27所以函数最大值为土，最小值为0.27【错因】需注意在闭区间上的戢值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单 地把极值等同于最值.【正解】/'（%） =3x2—4x+l= （3x —1） （x —1）,所以极值点为 x=l 或 x=~-,1 4又・・・ /(D=0, /(-) = — , /(-3) = -48,/(3) = 12.所以函数最大值为12,最小值为一48.易错题8•忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错【例8】函数/（兀）=（/_ 1尸+ 2的极值点是（）A. x = 1 B.兀=一1 或兀=1 或兀=0 C. x = O D.兀=一1 或兀=1【错解】・••广（兀） = 3（/一 1）2卫X,即广（兀）=6兀（兀2 一 1）2,由广（兀）=0得6兀（疋_1）2=0,・・・x二0或X二土 1故选（B）.【正解】由广（兀）=0有x=0或X二土 1・f\x）, /⑴随X的变化情况如下表:X(-°°, 0)-1(-1,0)fM—0—/（兀）无极们\0(0, 1)1(1, °°)0+0+极值7无极值/故选（C）易错点9.用错恒成立的条件【例9】 已知函数f（x） = x2+ax+3-a若兀g［-2,2］时,f（x）^0恒成立，求a的取值范围.【错解一】•・• /(x) ' 0恒成立，・・・△= / 一4(3-°) W0恒成立解得0的取值范围为—6 < G < 2 ；【错解二】・・・/(x) = F+q + 3_q若兀w[_2,2]时,/(%)>0恒成立，/(-2) > 0/(2) >0(-2)2-2。

3-0»022 + 2a + 3-a>07解得a的取值范围为-7G亍【错因】对二次函数f(x) = ajc2+bx + c “当xe/?± /(x) 0恒成立时，△§()”»面理解为“a? + fex+cMO,兀丘[一2,2]恒成立时，△W0”或者理解为J ^(_2) -°.这都是由于函数性质掌1/⑵ no握得不透彻而导致的错谋.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间 变”要对区间进行讨论.【正解】设/(力的最小值为g(a),7(1)当一-<-2,即a>4 时,g(a) = /(_2)=7—3aM0,得aS—故此时Q不存在；2⑵ 当一-g[-2,2],即一4WQW4 时，g(a)=3—d — .2O,得一6WQW2, 乂一4WQW4, 故一4Wd W2；(3) —— > 2 ,即 a <—4 时，g(a) =/(2) =7+G 20,得 C12—7,又 QV—4,故一7WdV—4；综上，得一7WdW2.【错题纠正巩固】1. 已知函数f(x)在R上满足/(%) = 2/(2 一兀)一兀$ + 8兀_ 8,则曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程是 ()A. y = 2x-l B・ y二兀 C. y = 3x-2 D・ y = -2x + 3【答案】A【解析】 由 f(x) = 2/(2-x)-x2+8x-8得几何/(2-x) = 2/(%)-(2-x)2 + 8(2-兀)一8 ,即2/(对一/(2-兀)二/+4兀_4, ：. f(x) = x2 ：. f\x) = 2x,・••切线方程丿一1 = 2(兀一1),即 2兀一歹一 1 = 0选A2. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y = x3和y = 6fjt2+—x-9都和切，则。

等于()A，-或耆B. 一1 或#C. 一？或皂4 64【答案】A【解析】设过(1，0)的直线与y = x3相切于点(x0,x03),所以切线方程为y-x03 = 3x02(x-x0)3 即y = 3x02x-2x0\又(1,0)在切线上，则x°=0或x0=——,1 \ 25 当r =0时，由y = O^y = ax2 +上兀一9和切可得—--, ° --4 643 27 27 1S当兀o=-一时，［tl y = —x 与y = ax2 +一x-9相切可得a = -\ 9所以选力・0 2 ・ 4 4 • 43.已知对任意实数兀,有f(-x) = g(-x) = g(x)9且兀>0时，广(兀)>0, g'(x)>0,则x<0A.广⑴〉0,g'O) > oB. /\x) > 0, g'(QvOg3〉0D•广(兀)<0, g©)vO【答案】B14.曲线y = e2'在点(4、9 2A. —e2【答案】De?)处的切线与处标轴所围三幷形的血积为(B. 4e2C. 2e2D. e25.已知二次函数f(x) = ax2+bx^-c的导数为f\x)，广(0) > 0,对于任意实数兀都有/(劝' 0,则貴盜的最小值为A. 3C. 2【答案】 0 6.已知函数y = f(x)的图象在点M(l, /⑴)处的切线方程是歹=丄％ + 2，则/(1) +广(1)=2【答。