立体几何知识点.docx

立体几何1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶 点到截面距离与高的比的平方3）棱台： 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

5） 圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形6） 圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个 弓形7） 球体： 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与X轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半证明题两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行 没有公共点；两个平面相交 有一条公共直线。

a、 平行 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行b、 相交二面角（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的取值 范围为[0°，180°]（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直记为丄两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面Attention：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量 之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都 互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成 的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1）侧棱交于一点侧面都是三角形（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形且其面积比等于截得的棱锥的高与远 棱锥高的比的平方正棱锥正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥正棱锥的性质：（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形各等腰三角形底边上的 高相等，它叫做正棱锥的斜高3）多个特殊的直角三角形esp：a、 相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角 形的垂心b、 四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直且顶点 在底面的射影为底面三角形的垂心直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行① 直线在平面内——有无数个公共点② 直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法（找平面的法向量）规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成 的角为 0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也与这条斜线垂直esp. 直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就 说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这条直线垂直于这个平面直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行③直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线 和这个平面平行直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么这条直线和交线平行。

1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是 异面直线两异面直线所成的角：范围为（0°,90°）esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段（有且只有一条）esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面一、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系：y=kx+b则此时称 y 是 x 的一次函数特别地，当b=0时，y是x的正比例函数即：y=kx （k为常数，kMO）二、 一次函数的性质：1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）2. 当x=0时，b为函数在y轴上的截距三、 一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3 个步骤（ 1 ）列表；（ 2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线因此，作一次函数的图像只需知 道2点，并连成直线即可通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2. 性质：（1）在一次函数上的任意一点P （x，y）,都满足等式：y=kx+b°（2） — 次函数与y轴交点的坐标总是（0, b），与x轴总是交于（-b/k, 0）正比例函数的图像总是 过原点。

3. k， b 与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当kV0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小当b>0时，直线必通过一、二象限;当 b=0 时，直线通过原点当bVO时，直线必通过三、四象限特别地，当b=O时，直线通过原点0 (0, 0)表示的是正比例函数的图像这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当kV0时，直线只通过二、四象限四、 确定一次函数的表达式：已知点A (xl, yl)； B (x2, y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式1) 设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b2) 因为在一次函数上的任意一点P (x，y),都满足等式y=kx+b所以可以列出2 个方程：yl=kxl+b……①和y2=kx2+b……②(3) 解这个二元一次方程，得到k，b的值4) 最后得到一次函数的表达式五、 一次函数在生活中的应用：1. 当时间t 一定，距离s是速度V的一次函数s=vt2. 当水池抽水速度f 一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数设水池中原有水量 S g=S-ft六、 常用公式：1. 求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)2•求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23. 求与 y 轴平行线段的中点： |y1-y2|/2I. 定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax"2+bx+c(a, b, c为常数，aMO,且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a〈0时,开口方向向下，lai还可以决定开口大小，lai越大开口就越小，lai越小开口就越大•) 则称 y 为 x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式II. 二次函数的三种表达式一般式：y=ax"2+bx+c (a, b， c 为常数，aHO)顶点式：y=a(x-h)"2+k［抛物线的顶点P (h, k)］交点式：y=a(x-x? )(x-x?)［仅限于与x轴有交点A (x?, 0)和B (x?, 0)的抛物 线］注：在3 种形式的互相转化中，有如下关系：h二-b/2ak=(4ac-b"2)/4ax?, x? =(-b土Jb"2-4ac)/2aIII. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x"2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线IV. 抛物线的性质1. 抛物线是轴对称图形对称轴为直线x=-b/2a对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2. 抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a, (4ac-b"2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当A=b"2-4ac=0时，P在x轴上3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口a|越大，则抛物线的开口越小4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abVO），对称轴在y轴右5. 常数项c决定抛物线与y轴交点。