【北师大版】九年级数学上册：第4章巧用位似解三角形中的内接多边形问题(含答案).pdf

专训 1巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金： 位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质 .位似图形必须具备三个条件：(1) 两个图形相似； (2) 对应点的连线相交于一点； (3) 对应边互相平行或在同一直线上. 三角形的内接正三角形问题1.如图，用下面的方法可以画AOB 的内接等边三角形，阅读后证明相应问题 . 画法：在 AOB 内画等边三角形CDE，使点 C 在 OA 上，点 D在 OB 上；连接 OE 并延长，交 AB 于点 E ，过点 E 作 ECEC，交OA 于点 C ，作 EDED，交 OB 于点 D ；连接 CD，则CDE是AOB 的内接等边三角形 . 求证： CDE是等边三角形 . (第 1 题) 三角形的内接矩形问题2.如图，求作：内接于已知ABC 的矩形 DEFG，使它的边EF 在BC 上，顶点 D，G 分别在 AB，AC 上，并且有 DEEF12. (第 2 题) 三角形的内接正方形问题(方程思想 ) 3.如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边BC120 mm，高 AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点 P，N 分别在 AB，AC 上，则这个正方形零件的边长是多少？(第 3 题) 4.(1)如图，在 ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，AQ 交 DE 于点 P.求证：DPBQPEQC. (2)在ABC 中，BAC90 ，正方形 DEFG 的四个顶点在 ABC的边上，连接 AG，AF，分别交 DE 于 M，N 两点. 如图，若 ABAC1，直接写出 MN 的长；如图，求证： MN2DM EN. (第 4 题) 答案1.证明： ECEC，CEOCEO. 又 COECOE ，OCEOCE.CECEOEOE . 又EDED，DEODEO. 又 DOEDOE ，DOEDOE ，DEDEOEOE . CEDCED，CECEDEDE. CEDCED.又 CDE 是等边三角形，CDE是等边三角形 . (第 2 题) 2.解：如图，在 AB 边上任取一点 D ，过点 D 作 DEBC 于点 E ，在 BC 上截取 EF，使 EF2D E，过点 F 作 FG BC，过点 D 作 DG BC 交 FG 于点 G ，作射线 BG 交 AC 于点 G，过点 G作 GFG F，DGDG ，GF 交 BC 于点 F，DG 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEDE交 BC于点 E，则四边形 DEFG为ABC 的内接矩形，且 DEEF12. 3.解：设符合要求的正方形PQMN 的边 PN 与ABC 的高 AD 相交于点 E.易知 AE 为APN 的边 PN 上的高，设正方形 PQMN 的边长为 x mm，PNBC， APNB，ANPC.APNABC. AEADPNBC. 即80 x80 x120.解得 x48. 即这个正方形零件的边长是48 mm. 4.(1)证明： 在ABQ 和ADP 中，DPBQ，ADPB，APDAQB. ADPABQ. DPBQAPAQ. 同理 ACQAEP，PEQCAPAQ.DPBQPEQC. (2)解：MN 29. 证明：BC90 ，CEFC90 .BCEF. 又 BGDEFC90 ，BGDEFC.DGCFBGEF. DG EFCF BG.又DGGFEF，GF2CF BG.由(1)得DMBGMNGFENCF.MNGF2DMBGENCF.即MN2FG2DM ENBG CF.MN2DM EN. 。