第8章节线性系统的状态空间分析幻灯片.ppt

第8章 线性系统的状态空间分析与设计,针对单输入单输出系统的经典控制理论只能揭示I/O之间的外部特性（属于两维平面描述），对于系统内部的结构特性（特别是能量变化）难以分析，所以是不完全描述 在I/O描述的基础上，引入系统内部必要的能量变化，从而较直观地反映出系统输出受输入和内部能量变化的影响一个或多个输出（同时）是多个变量的函数，这样的数学模型称为多变量系统模型或者多输入多输出系统（MIMO） MIMO变量所张成的空间称为状态空间； MIMO数学模型称为线性系统的状态空间描述 8.1线性系统的状态空间描述 状态空间描述是现代控制理论的基础引言,状态空间描述不仅适合于线性系统，也适应于时变系统、非线性系统和随机控制系统从这个意义上来讲，状态空间描述是对系统的一种完全描述8.1.1 基本概念 1. 分析图8-1，能够描述小车行走状态的的变量有； 、 、 ，以及a(t)和t，其中t是隐变量， a(t)与F(t)、v(t)线性相关如果已知外力F(t) 、x(t)和v(t)，则可以计算出任意t≥t0时刻系统未来的状态x(t)和v(t)单输入单输出模型，一次只能看到一个两维平面的变化，不能同时观察到所有平面内的变化。

状态：时域内运动信息的集合，包括过去的（是现在的“因”）、现在的（是过去的 “果”；将来的“因”）和将来的（“果”） 状态变量：独立、完全确定系统状态的一组数目最小的变量称为状态变量 独立——线性无关； 完全确定——给定t时刻的变量组和系统在t≥t0时间内的输入函数，则系统在t≥t0的任意时刻的状态就可完全确定 数目最小 ——如果状态变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于该值，又不足以描述系统的状态 状态向量：由状态变量组成的矢量 小车系统中，状态向量为,,,状态或连续或离散，但因果关系是能量传递链，可显可隐却不会间断 ——“离散”2. 基本术语解释,状态空间：由n个状态变量xi(t),(i=1,2,…,n)为坐标轴所张成的n维空间状态向量 X(ti)为某一时刻状态空间中的一个点， X(t)随时间推移在状态空间中的运动轨迹，称为状态轨迹状态空间可以是希尔伯特空间的子空间或特例 状态方程：描述系统状态向量与输入向量之间关系的一阶微分方程或差分方程 输出方程： 动态方程： 线性时变系统动态方程的一般形式,,,,,,,希尔伯特空间是有限维欧几里得空间向无穷维的推广（H∞），也是巴拿赫空间(Banach space)的特例。

欧几里得空间、序列空间、勒贝斯格空间、Sobolev空间都是希尔伯特空间的特例 都在时域下张成，未能突破时间对于线性定常系统A、B 、G、H 、C、D为常系数矩阵， G、H形式同A、B图中，I为（n×n）单位矩阵， s是拉普拉斯算子， z为单位延时算子例8-1 试确定图8-4(a)，(b)所示电路的独立状态变量图中 分别是输入电压和输入电流， 为输出电压， 为电容器电压或电感器电流a) (b),,,图8-4(a)只有一个变量是独立的，状态变量只能任选其中一个实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容图8-4(b) ，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即 和 或 和 ，可以任用其中一组作为状态变量反映内部能量变化,8.1.2 动态方程与传递函数的关系,设初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变换,系统的传递函数矩阵（简称传递矩阵）定义为,,,,,线性定常系统,,£：,,,×,,例8-2 已知系统动态方程为,试求系统的传递函数矩阵解： 已知,,,故,,,,,,,8.1.3 线性定常系统动态方程的建立,8.1.3.1 根据系统物理模型建立动态方程,例8-3 试列写图示RLC电路方程，选择几组状态变量建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。

解： 有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电容器的电压与电荷、电感器的电压与磁通 根据回路电压定律,,,,,（1）设 ，则状态方程为,,,,,,A,b,c,,真正的内部变量是i,,,,,,（3）设 ，其中 无明确的物理意义，但也可以推出一组动态方程结论：对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方程也不是惟一的一般选择储能器件上的量做为状态变量例8-4 试列写图示系统的动态方程2）设,,初速度≠0,,,,,,,+,单输入单输出变为单输入三输出，即增加了对速度和加速度的测量点设 则,,,,,,若 则 , 且,,,,,二阶 ↓ 三阶,结论：同一系统动态方程的维数、变量、系数矩阵都不唯一返,8.1.3.3 由系统传递函数建立动态方程 (P.304) ——从SISOS推出的结论适合MIMOS,1.实现问题 提出： 传递函数→动态方程不唯一 凡能复现同一传递函数的动态方程称为可实现模型，其物理实现也是系统的真实构造。

结论： 可以证明系统可实现的条件是：传递函数必须是真的或者严格真的，即系统分母阶数不小于分子阶数(n≥m) 否则，自动态方程返还的传递函数可能不再是原有的结构，因为原系统存在能量自激£-1零初值,最小实现：,2. 能控标准型 设 则,,,,,,,若n=m，则 为非最小实现设x及各阶导数均为储能元件输出，则令,,,,,,,,,,3.能观标准型,,,,,,,,一般地,,,则,,首一,对偶系统,,前例的能观标准型为,,若系统∑(AC，BC，CC)与∑(AO，BO，CO)存在如下关系，则称它们为对偶系统4.对角线型,同前例,,A,b,c,推广至一般形式,求£-1,,,,,,,,,为不相重极点 处的留数,,,,,若G(s)含有重实极点,,其结构图和动态方程为,,,则系数矩阵如下——约当型,Y(s)=,U(s),,,,,,,,,例8-8自习8.1.3.2 由高阶微分方程建立动态方程,,例8-6已知系统的微分方程为,，求系统动态方程的能控、观标准型设初始条件为零，则,能控标准型,,,,,,避开繁琐推导,能观标准型,,,解：,,则,,,首一且最小实现,说明：三种标准型状态变量的物理意义不太明确，可从结构图或信号流图中看到微积分关系。

8.1.3.4 由差分方程和脉冲传递函数建立动态方程,,两端取Z变换，并整理得脉冲传递函数为,,,,,∵,,∴,Z-1,Z-1,首一最小实现,,简记,8.1.4 动态方程的非唯一性,对同一系统，由于状态变量选取不唯一，便有不同形式的动态方程这些动态方程之间可以进行非奇异线性变换设系统的状态方程为,,,,,,,,动态方程的非唯一性,+d1u,+du ；,,,总可以找到非奇异的P,G、H、C、D标准型同连续系统,回 放,投影关系,其传递函 数分别为,思路：直接求解状态方程 几乎不可能，我们将从 解的形式寻找类推规律和,且,则,8.2 动态方程的响应,8.2.1 线性定常系统齐次状态方程的解——零输入解u(t)=0,+Bu,结论：不同的动态方程→唯一的传递函数；但传递函数→动态方程不唯一根据一元一阶微分方程的解,∴类推出,,幂级数法,拉氏变换法,,,,,,,,,,,£-1,怎样确定？,零输入解,,8.2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解——u(t) ≠0，x(0) ≠0,,£：,,,,£-1：,£-1,£-1,零输入解,零状态解,£-1,,,∴,∵,,,解1：,,,£-1：,£ :→,①,,,,,=£-1,,∴,解2：利用信号流图求解状态方程。

I：x(t)=1(t)，x1(0) ≠0， x2(0 ) ≠0，则视系统为3I2O； O： x1(t) ， x2(t)以x2为输出的前向通路,以x1为输出的前向通路,,,,£-1,,,,8.2.4 线性定常离散系统的运动分析,,,8.3 线性系统的稳定性、能控性和能观性,8.3.1 能控性和能观性的定义,稳定性——特征方程det(sI-A)=0，即︱sI-A ︱=0的所有根位于左半s平面£-1,Z-1,传递函数矩阵与脉冲传递函数矩阵对比：,,2．能控性——输入可以控制状态到达状态空间内的任意点例8-12,,,,,解： 与输入u(t)和状态变量x1均没有关系，x2明显不能控制如果改写上式,则x2可由u直接控制，而x1可通过x2由u间接控制是否可以从状态方程直接观察出能控性？,,,解：,,,,,,,例8-13,设系统的初始状态为零,不能从状态方程直接观察定义： ，如果存在无约束的分段连续控制函数u(t) ，能使系统从任意初态x(t0)转移至任意终态x(tf) ，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的 只要有一个状态变量不能控，则称系统状态不完全能控，简称系统不能控。

y(t)反映的是x1(0) 与x2(0)的差值随时间衰变的过程，无法得到各自独立的运行状况3. 能观性——输出可以反映状态空间内的任意状态点例8-14,,y=x1可直接测量，而 与x1无关，所以不可能从y中间接得到x2例8-15,,,定义：对于任意初始时刻 t0，若能在有限时间tt0之内，根据系统的输出y(t) ，唯一地确定在初始时刻的状态x(t0)，则称系统状态完全能观，简称系统能观 只要有一个状态变量在初始时刻t0的值不能由输出唯一地确定，则称系统状态不完全能观，简称系统不能观说明： 能控性是通过u(t)控制(掌握)所有未来的状态；能观性是通过y(t)测量(“回忆”)过去的状态 单从动态方程难以确定能控性和能观性 从动态方程的解中也很难找出判断规律，且求解困难8.3.2+8.3.3 能控性与能观性判据,1．秩判据,,,,,系统状态完全能控不能观 结论： 能控标准型状态必完全能控，结论可逆附加例题：讨论系统 的能控 能观性解；,,能控标准型：,,,,能观标准型：,,,系统状态完全能观不能控 结论： 能观标准型状态必完全能观，结论可逆。

2．对角线或约当型判据——可用秩判据，也可直观判断若,,既不完全能控也不完全能观则 既能控也能观； 能观不能控； 能控不能观推论： 1.对角线型系统状态完全能控和/或能观的条件是B中没有零元素行和/或C中没有零元素列 2.约当型系统状态完全能控和/或能观的条件是B中与各约当块末行对应的行不全为零和/或C中与各约当块首列对应的列不全为零例8-17，教材P.321,3.离散系统能控能观性判据,,,,,,加例：试判断连续和离散系统的能控性和能观性临界稳定，可通过观测器和状态反馈极点配置改变其稳定性返 回,8.3.4 能控性、能观测性与传递函数矩阵的关系,,连续系统离散后能控能观性将变差，且与采样周期密切相关能观不能控 ； 能控不能观； 能控能观,连续系统既能控也能观结论：,单输入-单输出系统能控、能观测的充要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零、极点对消； 系统能控的充要条件是(sI-A)-1b不存在零、极点对消； 系统能观的充要条件是c(sI-A)-1不存在零、极点对消； 若传递函数有可对消的零、极点，在推导状态方程时不应实施对消，以免掩盖稳定性、能控/观性， 传递函数（低维空间描述）不是完全的描述。

8.4 状态反馈与状态观测器——用于性能改善 8.。