《流体力学》典型例题范例.docx

《流体力学》典型例题 《流体力学》典型例题（9大类） 例1~例3——牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用 例4~例5——流体静力学基本方程式的应用——用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差 例6~例8——液体的相对平衡——流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容） （1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关） （2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关） 例9——求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断 例10~16——速度势函数、流函数、速度场之间的互求 例17——计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度 例18~20——动量定理应用（课件中求弯管受力的例子） 例21~22——总流伯努利方程的应用 例23——综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算 例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30o 的斜面作等速下滑运动。

已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布求油的动力粘性系数 U G=mg θ 解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du U dy τμ μδ =＝ 又因等速运动，惯性力为零根据牛顿第二定律： 0m ==∑F a ，即： gsin 0m S θτ-?= ()3 24 gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--?????==≈?????o 粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动和阻滞 运动的双重性 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m ，轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=?的油，若轴的转速200rpm n =求克服油的粘性阻力所消耗的功率 d l n 解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力 ()60d d n d u y πτμ μδ =＝ 粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=?= 克服油的粘性阻力所消耗的功率： ()()3 223 22 3 230230603.140.360.732022600.231050938.83(W) d d n d n n l P M F dl πππμωτπδ -==??=??= ???= ? ?= 例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。

解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径r 处取径向宽度d r 的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积环上受到的切向力为： d d 2d r r F A r r ω ω μ μ πδ δ == 2d d 2d r T F r r r ω μπδ =?= 4 2 420 d d 232d d d T T r r πμωπμωδδ===? 4 32d T πμωδ= 例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水 的密度ρ水＝1000 kg/m 3） 水 水 解：经分析可知图中1-1和2-2为两组等压面 根据等压面的性质和流体静力学基本方程0p p gh ρ=+，采用相对压强可得： 左侧：112()p g h h ρ=-水， 右侧：243()p g h h ρ=-水 中间：1232()p p g h h ρ=+- 联立可得： ()()()123243g g g h h h h h h ρρρ---=-水水 1234 32 h h h h h h ρρ-+-= -水 例题5：如图所示，U 型管中水银面的高差h ＝0.32 m ，其他流体为水。

容器A 和容器B 中心的位置高差z ＝1 m 求A 、B 两容器中心处的压强差（取管中水的重度γ水＝9810 N/m 3，水银的重度γ水银＝133416 N/m 3） 解：图中1-1、2-2为2组等压面根据等压面的性质和流体静力学基本方程0p p gh ρ=+，可得： A 11p p h γ=+水，12p p h γ=+水银， B 22p p h γ=+水 ()() ()() A B 211334160.3298100.32129743.92Pa p p h h h h h z γγγγ-=--=-+=?-?+=水银水水银水 例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H ＝1.2m ，长L ＝3m ，静止时盛水深度h =0.9m 现水箱以 20.98m a =的加速度沿水平方向做直线运动若取水的密度3 1000kg m ρ=，水箱中自由水面的压强0p ＝98000Pa 试求： （1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布 （2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度max a 解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致。

则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为 0X a,Y ,Z g =-==- 代入非惯性坐标系中的压力全微分公式()d d d d d p X x Y y Z z W ρρ=++=，得 ()d d d p a x g z ρ=-+ ① 积分得 ()1p ax gz c ρ=-++ 利用边界条件确定积分常数1c ：在坐标原点O （0x z ==）处，0p p =，得10c p = 由式①可得水箱内的压强分布 ()()098000100009898980009809800p p ax gz .x .z x z ρ=-+=-+=-- 对于水箱中的等压面，有d 0p =，所以由式①可得等压面的微分方程 d d a x g z =- 积分得 2a z x c g =-+ 上式给出了一簇斜率为a g -的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数20c =因此自由水面方程为 0980198 a .z x x .x g .=- =-=- （2）假设水箱以加速度max a 运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h '，则根据加速前后水的体积不变的性质可得 ()2 h H L L h '+??= ② 又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系 max g a H h L ' -= ③ ②和③式联立求解，得： ()() ()2max 22 1.20.9g 9.8 1.96m 3 H h a L -?-= =?= 例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D ＝1 m ，高H ＝2 m ，静止时水深为h ＝1.5 m 。

求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度ω应控制在多大？ （2）当ω＝6 rad/s 时，筒底G 、C 点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？ C 解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,r z H ==，则由： () 22,,d d d d X x Y y Z g p X x Y y Z z ωωρ?===-?? =++??，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202g r z H ω=+ 根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得： 222 2 00 2d 2g 4D r D r H r h ωππ???+= ?? ?? 由此可求得：22 016g D H h ω=- ，带入自由表面方程得： 222 2g 8D z h r ω? ? =+- ??? 若使ω达到某一最大值而水不溢出，则有2r D =时，z H =，带入上式，得 ()8.854rad s ω=== （2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为 222222 0g g 2g 2g 16g r r D p H z h z ωωωρρ????=+-=+-- ? ????? 将G 点条件：0,0r z ==带入得： 。