人教A版高中数学必修2教案第三章.docx

3.1 直线的倾斜角与斜率3．1.1 倾斜角与斜率直线的倾斜角[提出问题]在平面直角坐标系中，直线 l 经过点 P.问题 1：直线 l 的位置能够确定吗？提示：不能．问题 2：过点 P 可以作与 l 相交的直线多少条？提示：无数条．问题 3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．如图所示，直线 l的倾斜角是∠APx，直线 l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角 α 的取值范围是 0°≤α＜180°，并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0°.3．倾斜角与直线形状的关系倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°1日常生活中，常用坡度(坡度＝      )表示倾斜程度，例如，“进 2 升 3”与“进 2 升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度 ＞  .直线[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于 180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对 x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.直线的斜率[提出问题]升高量前进量3 22 2问题 1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题 2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题 3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等．[导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母 k表示，即 k＝tan_α.2．斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝  2y －y1x2－x1.当x1＝x2 时，直线 P1P2 没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．2须是 x1－x2，即 k＝  1y －y2 y2－y1x1－x2 x2－x1[化解疑难]1．倾斜角 α 与斜率 k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是 90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度．当 0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是 y2－y1，分母必须是 x2－x1；反过来，如果分子是 y1－y2，分母必＝ .(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．直线的倾斜角[例 1] (1)若直线 l 的向上方向与 y 轴的正方向成 30°角，则直线 l 的倾斜角为( )A．30°C．30°或 150°B．60°D．60°或 120°(2)下列说法中，正确的是( )A．直线的倾斜角为 α，则此直线的斜率为 tan αB．直线的斜率为 tan α，则此直线的倾斜角为 αC．若直线的倾斜角为 α，则 sin α＞0D．任意直线都有倾斜角 α，且 α≠90°时，斜率为 tan α[解析] (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°.(2)对于 A，当 α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于 B，虽然直线的斜率为 tan α，但只有 0°≤α＜180°时，α 才是此直线的倾斜角，故不正确；对于 C，当直线平行于 x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故 C 不正确，故选 D.3[答案] (1)D (2)D[类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0°，当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90°.②注意直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°.[活学活用]1．直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角范围是( )A．[0°，90°)C．(90°，180°)B．[90°，180°)D．(0°，180°)解析：选 C 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线 l 经过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当 0°≤α＜135°时为 α＋45°，当 135°≤α＜180°时为 α－135°解析：选 D 当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角是 α＋45°.当 135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到 l1 的倾斜角为 α－135°，故应选 D.2－4      2－4直线的斜率[例 2] (1)已知过两点 A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 135°，则 y＝________；(2)过点 P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为________；(3)已知过 A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为 1，则 m 的值为________．[解析] (1)直线 AB 的斜率 k＝tan 135°＝－1，－3－y －3－y又 k＝ ，由 ＝－1，得 y＝－5.4m＋2 y[例 3] 已知实数 x，y 满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求 的最大值和最小值．小值为  .y －y1x2－x1    m－3 m－3           直线斜率 k＝ ＝ ， ∴tan α＝   3.4－m(2)由斜率公式 k＝ ＝1，得 m＝1.(3)当 m＝3 时，直线 AB 平行于 y 轴，斜率不存在．－2－1 3当 m≠3 时，k＝ ＝－ ＝1，解得 m＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0[类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1 与 x2，y1 与 y2 可以同时交换位置．[活学活用]23．(2012· 河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4， ＋ 3)，则此直线的倾斜角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选 A 设直线的倾斜角为 α，(2＋ 3)－2 34－1 33又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.直线的斜率的应用x[解] 如图所示，由于点(x，y)满足关系式 2x＋y＝8，且 2≤x≤3，可知点 P(x，y)段 AB 上移动，并且 A，B 两点的坐标可分别求得为 A(2,4)，B(3,2)．y 2 y由于x的几何意义是直线 OP 的斜率，且 kOA＝2，kOB＝3，所以可求得x的最大值为 2，最23[类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成 2 的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．54．点 M(x，y)在函数 y＝－2x＋8 的图象上，当 x∈[2,5]时，求    的取值范围．x＋1  x－(－1)6   x＋1 3∴ y＋1的取值范围为[－  ，  ]．[活学活用]y＋1x＋1y＋1 y－(－1)解： ＝ 的几何意义是过 M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点 M 在函数 y＝－2x＋8 的图象上，且 x∈[2,5]，∴设该线段为 AB 且 A(2,4)，B(5，－2)．5 1∵kNA＝3，kNB＝－6，1 y＋1 5∴－ ≤ ≤ .1 5x＋1 6 36.倾斜角与斜率的关系[解析] 如图，由题意可知 k   ＝   4－0        2－0[典例] 已知两点 A(－3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点，则 l 的倾斜角的取值范围________；直线 l 的斜率 k 的取值范围________．           3－1PA －3－1＝－1，kPB＝ ＝1，则直线 l的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，∴直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 45°≤α≤135°；要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l的斜率 k 的取值范围是 k≤－1 或 k≥1.[答案] 45°≤α≤135° k≤－1 或 k≥1[易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于 90°时，有 k≥kPB；当 l 的倾斜角大于 90°时，则有 k≤kPA.2.如图，过点 P 的直线 l 与直线段 AB 相交时，因为过点 。