椭球面上的测量计算.ppt

§7-1 §7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系地球椭球的几何参数及其相互关系§7-2 §7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系§7-3 §7-3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径§7-4 §7-4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算§7-5 §7-5 大地线大地线§7-6 §7-6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面§7-7 §7-7 大地测量主题解算简介（大地测量主题解算简介（* *））§7-8 §7-8 椭球面上三角形的解算（椭球面上三角形的解算（增加增加）） 第七章第七章 椭球面上的测量计算椭球面上的测量计算（教材第六章（教材第六章“GPS“GPS卫星定位技术卫星定位技术””将在另一门专业课中介绍）将在另一门专业课中介绍）•在不规则的地球自然表面上获得的距离、角度等观测数据必须先归算到规则的椭球面上，再按保角投影方法投影到高斯平面上才能进行平差计算•等级控制点的坐标都是高斯平面直角坐标系中的坐标如果不对地面观测数据进行归算、改化就直接按坐标公式计算，则当范围较大时控制网无法拼接如公路测量等•归算和改化工作分两步进行。

不难理解，椭球体实际上只是一个过渡体•在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数本章将比较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测量计算问题•椭球面上的测量计算公式很多因时间有限，不一定一一推导课堂上讲过的主要公式主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学地球自然表面地球自然表面参考椭球面参考椭球面高斯平面高斯平面§7-1 §7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系地球椭球的几何参数及其相互关系一、地球椭球的基本几何参数一、地球椭球的基本几何参数•地球椭球地球椭球：在控制测量中用来代表地球的椭球，它是地球的数学表达模型•参考椭球参考椭球：具有一定的几何参数，经过定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球•地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算参考椭球面是大地测量计算的基准面计算的基准面•椭球体有关元素椭球体有关元素——O为椭球中心；NS为旋转轴；EAE׳为赤道（⊥NS）；a为长半轴；b为短半轴；NKAS为子午圈（经圈或子午椭圆经圈或子午椭圆）；QKQ ׳为平行圈（纬圈，纬圈， 与赤道平行与赤道平行 ）•决定椭球形状和大小的五个参数决定椭球形状和大小的五个参数——①长半轴（长度元素长度元素）： a②短半轴（长度元素长度元素）： b③扁率（反映椭球体的扁平程度反映椭球体的扁平程度）： ④第一偏心率： ⑤第二偏心率： •e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它们也能反映椭球体的扁平程度。

偏心率越大，椭球愈扁 •五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应有一个是长度元素（如如a或或b）习惯上通常用a和α•椭球面上的测量计算公式很多为简化书写，引入下列符号： •式中B为大地纬度； W、 V为辅助函数，其中W叫叫第一基本纬度第一基本纬度函数，函数， V叫第二基本纬度函数叫第二基本纬度函数•自1738年布格（法国）推算出第一组椭球参数以来，200多年来各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多、数值各异的椭球参数，比较著名的就有30多组•我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84椭球参数•涉及我国的这三组参数值见表7－16378137 (m)1/298.2572235636378140（（m）） 1／／298.2576378245 (m)1／／298.3 aαWGS-84椭球椭球1975年国际椭球年国际椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球•经国务院批准，根据《中华人民共和国测绘法》，我国自2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系（简称“2000坐标系”， 或CGS2000，即China Geodetic System 2000，或CGCS2000 ，即China Geodetic Coordinate System 2000 ）。

•2000国家大地坐标系是一个地心坐标系，原点与地球质心重合•2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下： 参数CGS2000椭球椭球a6378137mα1/298.257222101二、椭球参数间的关系二、椭球参数间的关系（运用初等数学知识很容易推导，过程略运用初等数学知识很容易推导，过程略）§7-2 §7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系•椭球面上的坐标系有：椭球面上的坐标系有：①大地坐标系②空间直角坐标系③子午平面直角坐标系④大地极坐标系⑤地心纬度坐标系⑥归化纬度坐标系•前两种是大地测量中最常用的基本坐标系，而最后两种坐标系在实际应用中很少采用，仅用于大地测量公式推导和某些特殊测量计算中一、椭球面常用坐标系一、椭球面常用坐标系1、大地坐标系、大地坐标系•过P点的子午面NPS与起始子午面NGS之间的夹角叫做P点的大地经度L，经度有东经、西经之分； P点的法线Pn与赤道面的夹角叫P点的大地纬度B ，纬度有北纬、南纬之分•若P点不在椭球面上，还需增加第三参数——大地高H大地高与正高及正常高的关系为：•在大地坐标系中， P点的位置用 （ L ， B ， H ）表示。

2、空间直角坐标系、空间直角坐标系•以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体旋转轴为Z轴X、、Y、、Z构成右手坐标系•在空间直角坐标系中， P点的位置用（X ，Y ，Z）表示3、子午面直角坐标系、子午面直角坐标系•设P点的大地经度为L在过P点的子午面上，以子午椭圆中心为原点，建立平面直角坐标系（注意注意：：该平面直角坐标系的该平面直角坐标系的x、、y轴的方向与测量习惯不一致轴的方向与测量习惯不一致 ）在该坐标系中， P点的位置用（L，x，，y ）表示 •子午面直角坐标系仅用于大地测量公式推导4、大地极坐标系、大地极坐标系•M为椭球面上任意一点 •MN 为过M 点的子午线•S 为连结M 点和P点的大地线（最短曲线，最短曲线，将在将在§§7－－5介绍介绍）长度•A 为大地线在M 点的方位角•以M 为极点极点，MN 为极轴极轴，S 为极径极径，A为极角极角，便构成大地极坐标系大地极坐标系•在大地极坐标系中，P点的位置用（S,A ）表示二、几种坐标系之间的关系二、几种坐标系之间的关系1、子午面直角坐标与大地坐标的关系、子午面直角坐标与大地坐标的关系•在这两个坐标系中，同点的L相同。

•过点P作子午椭圆的法线，该法线与x 轴、 y 轴的交点分别为Q、n，与x 轴的夹角为B（ P点纬度点纬度）•可以证明（过程略过程略），子午面直角坐标（x，y）与大地纬度B 有以下关系式：•式中，a、b 为椭球长、短半径，W、V为前述辅助函数：设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18)比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19)于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20)又由图可知：y＝PQsinB (7-21)所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23)•由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在赤道两侧的长度N2、空间直角坐标与子午面直角坐标的、空间直角坐标与子午面直角坐标的关系关系•从右边2图容易得出： L3、空间直角坐标与大地坐标的关系、空间直角坐标与大地坐标的关系（1）由大地坐标（ L ，B ，H ）求空间直角坐标（X ，，Y ，，Z））•当P点在椭球面上，即H ＝0时， 将 (7-18)、(7-20)二式代入(7-24)式即得：•当P点不在椭球面上，即H ≠0时，有nBL3、空间直角坐标与大地坐标的关系、空间直角坐标与大地坐标的关系（2）由空间直角坐标（X ，，Y ，，Z）求大地坐标（ L ，B ，H ）•关系式如下：•（7－31）可直接由（7－25）得到。

•（7－32）可根据右图得到•OP″＝x＝•因等式右边也包含B，故需迭代计算，其初始值可设为0; N值也需逐次迭代•同样，（7－34）可根据右图得到 sinB＝Z / (H+P'Q)•教材教材7.2.3“地心站平坐标系地心站平坐标系”实际应用较少实际应用较少nBLNe2Ne2sinBOP″″=OP2§7-3 §7-3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径•为了进行控制测量计算，必须了解椭球面上曲线的曲率半径•先介绍两个名词•法截面法截面——过椭球面上的一点作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面•法截线法截线——法截面与椭球面的交线法截线又叫法截弧 •由一条法线可作无数个法截面，相应有无数条法截线•在圆球面上，各点的法截线形状相同，曲率半径也相同•在椭球面上，不仅各点的法截线形状不同、曲率半径不同，而且同一点上不同方向的法截线的形状及曲率半径也各不相同•下面介绍椭球面上几种主要曲线的曲率半径一、子午圈曲率半径一、子午圈曲率半径•在子午椭圆上取微分弧长dS（dS=DK），相应地有坐标增量 (子午面直角坐标系子午面直角坐标系) dx、dy•设微分弧dS的曲率中心为n，则线段Dn及Kn即子午圈曲率半径，用M表示。

•由平面曲线的曲率半径定义公式知：•进一步推导（过程略），可得： •式中：BEM•子午圈曲率半径与纬度的大小有关其变化规律如表7－2所示：•M随纬度B的变化情况亦可从下图中看出在极点上最大, 等于极点曲率半径c 随纬度的增大而增大在赤道上最小，小于赤道半径　　说 明 B=0oB=90oB二、卯酉圈曲率半径二、卯酉圈曲率半径 •过椭球面上P点可作无数个法截面其中与子午面垂直的那个法截面同椭球面的交线称为卯酉圈卯酉圈右图中的EPE׳即为过P点的卯酉圈，其曲率半径用N表示•过P点作以O׳为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内•卯酉圈EPE׳也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，垂直于法线Pn所以PT是平行圈PHK及卯酉圈EPE׳在P点处的公切线公切线•卯酉圈EPE׳是子午椭圆上P点处的法截弧，而平行圈PHK可看作子午椭圆上P点处的“斜截弧斜截弧”•麦尼尔定理麦尼尔定理：如果过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点处两截弧具有公切线，则斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。

•由右图可知，两截弧平面夹角为B•斜截弧（平行圈平行圈PHK）的曲率半径r等于P点的横坐标x（子午面直角坐标子午面直角坐标）•设法截弧（EPE ׳）的曲率半径为N，则根据麦尼尔定理，有：•在直角三角形PO ׳n中，显然有：•因此，N = Pn说明卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上，曲率半径等于椭球面与短轴之间的一段法线的长度•将上节导出的子午面直角坐标与大地坐标的关系式（7－16）代入（7－62），容易得到：•（7－64）式便是卯酉圈曲率半径计算公式•由（7－8）式中的第3和第7个关系式容易得到N的另一个计算式：•卯酉圈曲率半径N也随纬度B而变, 变化规律如表 7－3•M和N是两个互相垂直的法截弧（子午圈和卯酉圈子午圈和卯酉圈）的曲率半径，称为主曲率半径主曲率半径•计算主曲率半径的公式（7－60）和（7－64）式应熟记卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，N 等于极点的等于极点的曲率半径曲率半径B=90˚N 随随B的增大而增大的增大而增大a＜N＜c0˚

•子午法截弧的方位角为•卯酉法截弧的方位角为•前面已导出了M、N的计算公式本段讨论方位角为Ａ的任意法截弧的曲率半径的计算问题•根据尤拉公式（又叫欧拉公式欧拉公式）知：由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径RA的公式为：•由（7－60）、 （7－64）和（7－9）式可得：•将（7－83）式右边分子分母同除以M，并顾及（7－84）式，有0°0°或或180°180°90°90°或或270°270°•推导过程中利用了（7－4）中的关系式：•该式为计算方位角为A的任意方向法截弧的曲率半径的理论公式理论公式（7－85）•将上式按级数展开，并经简化后得实用公式实用公式：•式中R为P点的平均曲率半径（下段介绍下段介绍）R和Δ可用计算器编程计算或查表得到四、平均曲率半径四、平均曲率半径•任意方向的法截弧曲率半径随方位而变，给测量计算带来不便当精度要求不太高、范围不太大时，可将椭球面当作球面处理•找出测区的中心点将中心点处的平均曲率半径（即所有法截弧的即所有法截弧的曲率半径的算术平均值的极限曲率半径的算术平均值的极限）作为测区近似球面的半径R其计算公式为：•（7－93）式说明，某点的平均曲率半径R等于该点M和N的几何平均值。

五、五、M、、N、、R的关系的关系•由前面介绍的公式可知，一般情况下，椭球面上某点处的M、N、R值不相等： 所以它们有如下关系： N ≥ R ≥ M •只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c§7-4 §7-4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算•控制测量计算中需要用到子午线弧长及平行圈弧长•本节介绍这两种弧长的计算公式一、子午线弧长计算公式一、子午线弧长计算公式•在子午线上取某微分弧PP׳＝dx•设：P点的纬度为B，P׳点的纬度为 B＋dB ，P点的子午线曲率半径为M•显然，有：•从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长为：•式中M可用下式表达（由（由（7－－70）式变形）式变形而得而得）：•不难发现，系数a0～a8都是椭圆长半径a和第一偏心率e的函数椭球元素确定时， 它们都是常数；椭球元素不同时， a0～a8之值也会不同•经积分、整理后，得子午线弧长计算式：•式中的系数很有规律•对于克拉索夫斯基椭球，子午线弧长计算公式为： •式中B˚表示以度为单位的纬度以度为单位的纬度。

•对于1975年国际椭球，子午线弧长计算公式为：•求子午线上两点间的弧长时，只需分别将两点的纬度值代入弧长公式，算出相应的弧长后相减即得•反过来，根据子午线弧长X (高斯平面直角坐标系中的纵坐标高斯平面直角坐标系中的纵坐标)也可以反算大地纬度B 反算得到的纬度叫“底点纬度底点纬度Bf ” （高斯平面上过已高斯平面上过已知点向纵坐标轴作垂线与纵坐标轴交点的大地纬度知点向纵坐标轴作垂线与纵坐标轴交点的大地纬度） ，一般采用迭代法和直接解法详见详见P20—7.4.2）二、平行圈弧长公式二、平行圈弧长公式•椭球体的每一个平行圈都是圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x，即：•对于同一平行圈上经差为l ″的两点，其弧长为：三、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较三、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较•表7－6列出了在不同的纬度处，纬度每变化1˚、1' 、1″时子午线弧长的变化情况以及经度每变化1˚、1'、1″ 时平行圈弧长的变化情况•由表可以看出，单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短•由表还知道：纬差1˚对应的子午线弧长约为110KM，1׳约为1.8KM，1″约为30M；在15˚以下的低纬度地区，平行圈弧长与经差的关系也大致如此。

（测量技术人员必须有此概念测量技术人员必须有此概念）30.92329.87626.80221.90215.5008.0280.0001855.361792.541608.131314.14930.02481.710.0011132110755296488788485580128902030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.0271842.941844.261847.711852.391857.041860.421861.601105761106561108631111431114231116251116960˚15˚30˚45˚60˚75˚90˚Δl=1″Δl =1 ׳1 ˚ΔB=1″ΔB=1׳ΔB=1˚平行圈弧长变化（平行圈弧长变化（m））子午线弧长变化（子午线弧长变化（m））BΔl=1˚§7-5 §7-5 大地线大地线•两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线；在球面上是两点间的大圆弧•在椭球面上呢？•是大地线大地线•本节介绍大地线的有关概念先引入“相对法截线相对法截线”一、相对法截线一、相对法截线•设椭球面上的任意两点A、B，其纬度分别为B1、 B2 ，且B1 ≠ B2 。

过A、B两点分别作法线与椭球短轴交于na、nb点•由§7－3知， na、nb分别为A、B两点的 卯酉圈曲率中心•因为Oni＝Nie2•sinBi,所以当B1 ≠ B2 时， Ona ≠ Onb， 亦即na、nb两点不重合由此可见由此可见：（1）纬度不同的两点，法线交于椭球旋转轴上的不同点；（2）椭球面上点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点就愈低； （3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交4）既不在同一子午圈上也不在同一平行圈上的两点之间有两条法截线过过A点作一个法截面通过点作一个法截面通过B点，点，过过B点作一个法截面通过点作一个法截面通过A点这两个法截面不重合，其与椭这两个法截面不重合，其与椭球面的交线也不重合球面的交线也不重合•假设经纬仪的竖轴分别与A、B两点的法线重合（忽略垂线偏差忽略垂线偏差），以其中的一点为测站照准另一点时，经纬仪的照准面就是一个法截面•在A点照准B点时，照准面A na B与椭球面的截线A aB叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；•同理，在B点照准A点时，照准面B nb A与椭球面的截线B bA叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。

•A aB和B bA叫做A、B两点的相对法截线相对法截线，二者一般不重合•只有当A、B两点位于同一子午圈上（经经度相同度相同）或同一平行圈上（纬度相同纬度相同）时，正反法截线才会合二为一，彼此重合 需要注意的是，同一平行圈上的两点，正反法截线虽然重合，但它们并不在平行圈上 （北半球，法截线在平行圈上方北半球，法截线在平行圈上方）•AB方向位于不同的象限时，正、反法截线之间的关系如右图所示 （某点的正法截线总是凹向该点处的子午线）（某点的正法截线总是凹向该点处的子午线）•图中实线表示仪器端，虚线表示目标端•一般情况下，正反法截线不重合因此，在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形，如右下图所示•为消除这种矛盾，需在相邻两点间另选一条单一截线代替相对法截线，从而得到由单一截线构成的闭合三角形•这种单一截线就是大地线大地线二、大地线的定义及其性质二、大地线的定义及其性质•先从空间曲线（不限于在同一平面内的曲线不限于在同一平面内的曲线）的有关概念入手• 图中，图中，ADB为椭球面上的一条空间曲线。

为椭球面上的一条空间曲线•切线——通过曲线上的D点和与它邻近的一点D1作一条直线D1D，当D1无限趋近D点时，直线D1D的极限位置，就是该曲线在D点处的切线•密切平面——通过曲线上的D点和与它邻近的两点D1和D2作一个平面D1D D2 （过三点可作一平面过三点可作一平面），当D1和D2同时无限趋近D点时，平面D1D D2的极限位置就是该曲线在D点处的密切平面密切平面 •主法线——通过曲线上的D点，垂直于曲线在该点的切线可以作无数条直线，这些直线都叫做曲线在D点的法线其中位于密切平面内的一条法线叫做主法线主法线•曲面的法线——过曲面上的D点可以作一个切平面通过该点且垂直于切平面的直线叫做曲面在该点的法线 椭球面上某点的法线是该点所有法截弧的公法线，但各法截弧的曲率中心的位置不同，即曲率半径不同•大地线——对于曲面上的一条曲线，如果其上每一点处的密切平面都包含曲面每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线在该点的法线，则这条曲线称为该曲面上的一条大地线大地线 大地线又叫测地线 例如，椭球面上的子午线就是一条大地线，因为其上每一点处的密切平面都包含椭球面在该点的法线。

但是，除赤道以外的平行圈却不是大地线，因为平行圈上每一点处的密切平面（赤道的平行面赤道的平行面）不包含椭球面在该点的法线•大地线上各点的主法线与该点的曲面法大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合线重合 因各点的曲面法线一般在空间交错，不相交、不平行，所以大地线是一条“空空间曲面曲线间曲面曲线”（不在同一平面）•假设在椭球面上的A、B两点间拉紧一条弹性细绳，细绳无重量，与椭球面之间也没有摩擦力则当细绳平衡静止时，其形状就是大地线的形状•由弹性力学可知，细绳平衡时，其上每一点的弹力的合力将位于该点的密密切平面切平面内；而曲面对细绳上各点的反作用力则必然与曲面在该点的法线曲面在该点的法线一致•因细绳处于平衡静止状态，故作用力与反作用力必在同一直线上，大小相等方向相反意味着细绳上每一点处的密切平面包含了该点的曲面法线故平衡状态下的细绳形状是大地线•因细绳是在两端有拉力的情况下平衡的，距离最短，故大地线是椭球面上两点间的最短曲线•A、B两点的大地线位于其相对法截线之间如右上图•在子午圈上，大地线与相对法截线重合，都位于子午线上•在除赤道以外的平行圈上，尽管大地线也与相对法截线重合，但它们都不在平行圈上。

（北半球偏上北半球偏上）δΔ•不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线一般不重合它们之间的夹角用Δ表示在一等三角测量中，平均边长为25公里，Δ约为0.004″•大地线位于相对法截线之间，并靠近正法截线大地线与正法截线间的夹角用δ表示： •因δ和Δ都很小，所以在一般的工程测量中，可以不考虑法截线与大地线之间的方位角差，即在方向观测值中无需施加此项改正•大地线与法截线的长度大约每公里相差百万分之一米米，完全可以认为它们相等•在椭球面上进行测量计算时，以两点间的大地线为依据δΔ三、大地线的微分方程和克莱洛方程三、大地线的微分方程和克莱洛方程*（该部分内容主要用在椭球大地测量学中，用于大地主题解算有（该部分内容主要用在椭球大地测量学中，用于大地主题解算有兴趣的同学请自学）兴趣的同学请自学）§7-6 §7-6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面•我们知道，测量计算的基准面是参考椭球面•野外测量工作都是在地面上进行的，测站点和照准点一般都超过参考椭球面一定高度•观测时的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是铅垂线各点的垂线与法线间存在着垂线偏差。

•地表有较大起伏，故不能直接在地面上处理观测成果，须将地面观测的元素归算至椭球面上•归算时有两个基本要求两个基本要求——（（1）以椭球面的法线为基准；）以椭球面的法线为基准；（（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素•本节将介绍方向值和长度值的归算问题 一、将地面观测的水平方向值归算至椭球面一、将地面观测的水平方向值归算至椭球面--------三差改正三差改正•将水平方向值归算至椭球面，需要进行三差改正，即垂线偏差改正、标高差改正和截面差改正1 1、垂线偏差改正、垂线偏差改正 •地面上所有水平方向的观测都是以垂线为依据的，而在椭球面上则是以法线为依据•将以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算为以法线为依据的方向值时应加的改正叫垂线偏差改正垂线偏差改正，常用δu表示•M是地面观测目标（m）在球面上的投影•延长ZZ1 ，与过A点的水平圆相交于O点•如果AM位于垂直面AZZ1O内，则无论观测方向是以法线为准还是以垂线为准，照准面都是一个，没有垂线偏差改正故可将 A O作为参考零方向•以垂线AZ1为准时，照准m点，得方向值OR1（R1是平面AZ1M与过A点的水平圆的交点。

过A点的水平圆可看作水平度盘）；•以法线AZ为准时，照准m点，得方向值OR（R是平面AZM与过A点的水平圆的交点）•以测站A为中心作单位半径的辅助空心圆球Z为对应于法线的大地天顶，Z1为对应于铅垂线的天文天顶•设u为垂线偏差（在辅助在辅助球面上，球面上，u＝＝ZZ1）它在子午圈和卯酉圈上的分量分别为ξ和η •水平方向观测值的垂线偏差改正计算公式为：•式中，Am和α分别为测站点至照准点的大地方位角和垂直角垂线偏差的子午分量ξ″和卯酉分量η″可在测区“垂线偏差分量图”中查得•在地势平坦地区， ξ″和η″都很小•很显然，垂线偏差对水平方向观测值的影响是OR与OR1之差 ，即： δu ＝RR1•以上是垂线偏差的几何解释2 2、标高差改正、标高差改正•前已述及，不在同一子午面或同一平行圈上的两点，法线在空间交错，不共面•如果照准点高出椭球面一定高度，则照准面就不能通过照准点的法线与椭球面的交点照准点的法线与椭球面的交点，由此引起的水平方向改正叫标高差改正，用 δh表示•假设测站点A位于椭球面上，照准点B高出椭球面的高度为H2； Ana、 Bnb分别为A点、B点的法线；b为B点的法线与椭球面的交点。

如右图所示•因Ana与 Bnb不在同一平面，故在A点照准B点时的法截线是Ab׳而不是Ab•将观测值Ab׳归算为正确的方向值Ab时需加的改正数就是标高差改正•标高差改正的计算公式为：•H2 、B2和M2分别为照准点的大地高、大地纬度和子午圈曲率半径； Am为测站点至照准点的大地方位角3、截面差改正、截面差改正•前已述及，当两点的纬度不同时，测站点和照准点的相对法截线不重合，需用大地线代替相对法截线•将观测得到的法截线方向值化算为大地线方向值时应加的改正数叫截面差改正，用δg表示•上节已介绍，当平均边长为25公里时， δg约为0.0013″，故在二等以下的控制测量中一般不考虑施加截面差改正•截面差改正的计算公式见（7－167）式4、施加三差改正的条件、施加三差改正的条件•水平方向观测值经三差改正后，便是椭球面上相应大地线的方向值•但是，并非任何情况下都需对观测结果施加三差改正•规范规定，内业计算时水平方向值的取位与控制测量的等级有关—— 一等计算至一等计算至0.001″ 二等计算至二等计算至0.01″ 三等和四等计算至三等和四等计算至0.1″•如果三差改正数中的某一项小于相应的计算精度（取位精度），则可不考虑该项改正。

•对三差改正数的分析结果表明，一般情况下： 一等三角测量应加三差改正；一等三角测量应加三差改正； 二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正； 三等和四等三角测量可不加三差改正，但当三等和四等三角测量可不加三差改正，但当ξ、、η超过超过10″或或H>2000m时，则应分别考虑施加垂线偏差改正和标高差改正时，则应分别考虑施加垂线偏差改正和标高差改正 二、天顶距观测值的垂线偏差改正二、天顶距观测值的垂线偏差改正 （教材中无此部分内容）（教材中无此部分内容）•为了进行距离改化等椭球面上的计算，需要用到大地高高差•采用三角高程测量时，高差是根据以垂线为依据的天顶距观测值计算的，不是大地高高差•为获得大地高高差，须将以垂线为依据的天顶距观测值归算为以法线为依据•在右上图中,p1、p2为两个三角点；z׳1、 z׳2分别为在p1、p2观测的天顶距； z1、 z2为归化后以法线为依据的天顶距，即大地天顶距；u1、u2是两点的垂线偏差•两种天顶距之间的关系为：•ui,j为测站i的垂线偏差ui在测线ij方向上的分量由右图知：NAp1p2u1ξ1 1η1 1u1,2•所以，计算大地天顶距的公式为：•上式与第五章介绍的公式在符号上是一致的：此处是天顶距天顶距！•垂线偏差子午分量ξ和卯酉分量η可根据天文经纬度（λ、φ）和大地经纬度（L、B）计算,也可从测区垂线偏差分量图上查取。

ξ=φ-B； η =（ λ - L）cos φ•式中A为测站点至照准点的大地方位角•根据大地天顶距求得的高差，为大地高高差大地高高差三、将地面观测的长度归算至椭球面三、将地面观测的长度归算至椭球面•在地球自然表面上测得的长度需归算至参考椭球面上•控制测量中，测边方法有两种：铟钢基线尺量距和电磁波测距•上世纪80年代之前，铟钢基线尺量距是精密测距的主要手段随着电磁波测距仪的普遍应用，现在已基本不采用基线尺量距这一方法•电磁波测距的归算问题在上册第四章中已经介绍本段再简单回顾一下•如右图所示，地面点Q1、 Q2的大地高分别为H1、 H2 ，用电磁波测距仪测得两点间的斜距为D； Q1、 Q2沿各自的法线投影到椭球面上的位置分别为Q׳1、 Q׳2 ； S为椭球面上Q׳1、 Q׳2之间的大地线长度•所谓长度归算就是根据斜距D求S •在工程测量中，可以认为大地线长度S等于Q׳1点处方位角为A12的法截弧曲率半径RA所对应的圆弧长•经推导，电磁波测距归算的电磁波测距归算的严密公式严密公式为：•式中：•一般情况下，（7－177）式右边第二项非常小，D为5km时才0.13 mm，故可忽略不计。

•（7－177）式跟上册第四章（4－141）式是一致的区别在于一为弧长，一为弦长 【（【（7－－177）式比（）式比（4－－141）式多了一项式多了一项•电磁波测距归算的电磁波测距归算的实用公式实用公式为：•式中：•精度要求很高时，上式可取至二次项,即h12•为了解释电磁波测距归算的几何意义，（7－179）式可以进一步化简为：•上式右边第二项是用高差进行倾斜改正的主项 经过此项改正，斜距已化算为平距；•第三项是由于两点的平均高程面高出参考椭球面应进行的归算改正，经过此项改正后，测线已化算为椭球面上的弦长d；•第四项则是由弦长改化为弧长的改正项•该式没有（7－177）式严密，也比（7－179）式要差•实际工作中，应尽量采用（7－177）式或（7－179）式进行归算h12§7-7 大地测量主题解算简介大地测量主题解算简介一、大地主题解算的概念一、大地主题解算的概念•大地主题解算大地主题解算：根据某些已知大地元素推求另一些未知大地元素•大地元素大地元素：椭球面上点的大地经度L、大地纬度B，两点间的大地线长度S及其正、反大地方位角A12、A21（二者之差不是刚好等于（二者之差不是刚好等于180˚）） ，统称为大地元素。

•大地主题解算包括正算正算和反算反算•已知P1点的大地坐标（L1、B1）、P1至P2点的大地线长S及大地方位角A12，计算P2点的大地坐标（L2、B2）和P2点处大地线的方位角A21的过程叫做大地主题正解大地主题正解（算）•已知P1和P2点的大地坐标（L1、B1）和（L2、B2），计算P1至P2点的大地线长S及正、反大地方位角A12和A21的过程叫做大地主题反大地主题反解解（算）•大地主题正、反算与平面直角坐标的正、反算类似，只是多了反方位角的计算•从解析意义来讲，大地主题解算就是研究大地极坐标（S，A）与大地坐标 (L,B)间的相互变换关系二、大地主题解算的用途二、大地主题解算的用途•在天文大地测量中推算一等点的经纬度及点间大地方位角；在空间技术和航空、航海、国防等领域进行科学计算•现代控制测量计算中已很少进行大地主题解算，相关计算工作均在高斯投影面上进行（见下章）三、大地主题解算方法分类大地主题解算方法分类1、按解算距离分• 短距离（400KM以内）、中距离（400--1000KM）和长距离（1000KM以上）三种• 距离不同，解算方法也不同2、按解算方法分•直接解法（白塞尔Bessel法等）和间接解法（高斯平均引数公式等）。

•一百多年来，测量学者共提出了70余种解算公式和方法教材介绍了其中主要的几种解法，有兴趣的同学可自学§7-8 §7-8 椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算一、一、“椭球面上三角形解算椭球面上三角形解算”的实质的实质•“椭球面上三角形解算”的实质就是在椭球面上解算三角形，求椭球面上三角形的边长•前面已介绍了将地面三角网的方向值、长度值归算至椭球面上在椭球面上已得到由大地线组成的“三角网”•椭球面上三角网的各个角度为已知•除起算边外，其余各边的长度未知，需要解算二、用球面三角形代替椭球面三角形的条件二、用球面三角形代替椭球面三角形的条件•大地线是空间曲线，其上各点处的曲率半径不相同因此，在椭球面上解算由大地线组成的三角形非常复杂•数学研究结果表明：在半径小于140km的圆形区域（相当于边长约240km的等边三角形）内，椭球面三角形可当作球面三角形看待——边长相等，角度差小于0.001″•圆球的半径取三点曲率半径的平均值•所以，用球面三角形代替椭球面三角形的条件是“三角形的边长三角形的边长小于小于240km”三、球面三角形与同边长平面三角形的关系三、球面三角形与同边长平面三角形的关系•由球面三角学知：球面三角形的三角之和 大于180˚，小于540˚。

即 180˚

自的应用条件6.垂线偏差对水平方向观测值和垂直角观测值各有什么垂线偏差对水平方向观测值和垂直角观测值各有什么影响？影响？7.写出电磁波测距测得的斜距化算为大地线长度的计算写出电磁波测距测得的斜距化算为大地线长度的计算公式，并说明式中各符号的意义公式，并说明式中各符号的意义。