第一章 函数的连续性教材课程.ppt

为了以后学习研究微积分，我们需要引入性质更好的一类函数，即所谓的连续函数.本课程所研究的函数，基本上都是连续函数.,连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面的实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长、物体运动的路程、气温的变化等等.,在建立函数连续性定义之前，我们引入增量的概念.,函数的连续性,一、函数的连续性,,2.连续的定义,证,例,证,由定义2知,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,初等函数的连续性,一、四则运算的连续性,定理1,例如,,二、复合函数的连续性,定理3,意义,1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续,例1,解,课堂练习解答：,,上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数 f(x) 在点 x0 处不连续（或间断），并称点x0为 f(x)的不连续点（或间断点） .,二、函数的间断点,以下举例说明 函数间断点的 几种类型,1.跳跃间断点,,例5,解,2.可去间断点,例6,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例6中,,,,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,,例7,解,例8,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例9,解,例10 讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形,解,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.区间上的连续函数;,3.间断点的分类与判别;,间断点,,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,(见下图),第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,。