概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数.ppt

第三节第三节 连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数复习:变限积分的求导公式若a为常数,则若b为常数?1根据分布函数的定义一.一维随机变量函数的密度函数目标:设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)y = g(x)为一个连续函数(分段严格单调)，求随机 变量Y=g(X)的密度函数 .基本方法(分布函数求导法),分2个步骤:(1) 求Y的分布函数(2) 对 求导，21. 是严格单调且可导的函数.1). 定理3.1. 设 而 是严格单 调且且处处可导的, 设 是g的反函数, 则 是连续型随机变量,其密度函数为其中其实就是变限积分求导3证明4推论. 如果Y=aX+b,则Y 的密度函数为特别的, 对于正态分布 , 设我们有 更一般的, 则5解 先求分布函数 FY (y)。

设随机变量X服从正态分布 求的概率密度当 时，所以， 请同学自己用分布函 数求导法证明!6当 时，所以， 7解 体积 的分布函数为例 设球的半径X的概率密度为 试求体积的概率密度所以体积的概率密度为 严格单调递增函数8所以体积的概率密度为 即 代入f(x).9练习 设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数 答案：10例题1,…此类问题的基本做法:先确定Y的取值范围,其密度 函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式法 或者分布函数求导法,最后写出函数.以下练习:11练习题:12定理3.2 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度 函数分别为f X (x), fY (y), 当g(x)在不相重叠的区间 I1， I2，…,Ik上是严格单调函数且可导，则其中 为 在Ii上的反函数2.分段严格单调可导函数最好不要套用定理,还是由”分布函数求导法” 来求解!13例 设X ~ N（0，1），其概率密度为：则概率密度函数为：此时称Y 服从自由度为1的 -分布,记作 结论：若 ,则 14解 因此对于首先注意到则有对不是单调的，但却是分段单调的。

是单调下降的，是单调上升的，1).公式法 (自己看)152).分布函数求导法: 因此对首先当 时,有对其求导,所以,16若 结果怎样?17例3.15(3). 设X的密度函数求 的密度函数. 解. 因为 所以只要考虑 当 时,求导, 得18当 时,求导, 得故19解题步骤:20设 是二维连续型随机变量,其联合分布密度为 则 是一维的连续型随机变量????? 其分布函数为 是二元连续函数，其分布密度函数为 二.多维随机变量函数的密度函数基本步骤(分布函数求导法)211).如果(X, Y)的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为 或 特别地，当X, Y 相互独立时，有卷积公式 或 1. 1.和的分布和的分布22证明. 设(X,Y)的密度函数为f(x,y), 则Z=X+Y的分布 函数为所以, 对z求导,令对f(x,y)沿着x+y=z积分对于相互独立的X,Y, 则23例3.16 如果X与Y相互独立记住结论,证明过程感 兴趣自己看.进一步,24例3.17如果 在小于0上取0值,则积分都是 类似的,卷积的积分限限制到(0, z).25当 时,解当 时,所以练习题. X,Y相互独立,且都服从参数为 的指数分 布, 求Z=X+Y的密度函数.2627282. 例3.18 设X, Y 相互独立, N(0,1), 求Z 的密度函数.例3.14 自由度为1的 分布,例3.18自由度为2的 分布. 如果随机变量是n个相互独立的标准正态分 布的平方和, 则其是自由度为n的 分布.293.若(X, Y)的密度函数为f(x,y), 则Z的密度函数为沿着yz=x, 对y积分.304. 极大值和极小值的分布 设 相互独立, 令希望得到 的分布.31若为同分布, 则而而32两个非同分布独立随机变量情形:33其它类型34例 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为求随机变量 Z=X+2Y 的密度函数. 解所求分布函数为 分布密度函数为 35练习题3637。