高等数学课后习题答案第六章.doc

习题六1. 指出以下各微分方程的阶数：(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶2. 指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解：;解：由得代入方程得故是方程的解.;解：代入方程得.故是方程的解.;解：代入方程得.故不是方程的解.解：代入方程得故是方程的解.3. 在以下各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程两端对x求导：得代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.证：方程两端对x求导： (*)得.(*)式两端对x再求导得将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4. 从以下各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：解：当时，y=5.故C=-25故所求曲线为：解：当x=0时，y=0故有.又当x=0时，.故有.故所求曲线为：.5. 求以下各微分方程的通解：;解：别离变量,得积分得得.解：别离变量，得积分得得通解：;解：别离变量，得积分得得通解为.;解：别离变量，得积分得得通解为;解：别离变量，得积分得得通解为;解：积分得得通解为.;解：别离变量，得积分得即为通解..解：别离变量，得积分得得通解为：.6. 求以下各微分方程满足所给初始条件的特解：;解：别离变量，得积分得.以代入上式得故方程特解为..解：别离变量，得积分得将代入上式得故所求特解为.7. 求以下齐次方程的通解：;解：令原方程变为两端积分得即通解为：;解：令，那么原方程变为积分得即方程通解为解：令，那么原方程变为即积分得故方程通解为;解：令, 那么原方程变为即积分得以代替u，并整理得方程通解为.;解：令，那么原方程变为别离变量,得积分得以代替u，并整理得方程通解为到解：即令，那么,原方程可变为即别离变量，得积分得.即以代入上式，得即方程通解为.8. 求以下各齐次方程满足所给初始条件的解：;解：令，那么得别离变量，得积分得即得方程通解为以x=0，y=1代入上式得c=1.故所求特解为..解：设，那么原方程可变为积分得.得方程通解为以x=1，y=2代入上式得c=e2.故所求特解为.9. 利用适当的变换化以下方程为齐次方程，并求出通解：解：设，那么原方程化为令代回并整理得.解：作变量替换，令原方程化为令,那么得别离变量，得积分得即代回并整理得;解：作变量替换那么原方程化为代回并整理得.解：令那么原方程可化为别离变量，得积分得故原方程通解为10. 求以下线性微分方程的通解：;解：由通解公式；解：方程可化为由通解公式得解：;解：.;解：方程可化为解：方程可化为11. 求以下线性微分方程满足所给初始条件的特解：;解：以代入上式得，故所求特解为..解：以x=1,y=0代入上式，得.故所求特解为.12. 求以下伯努利方程的通解：解：令，那么有即为原方程通解..解：令.即为原方程通解.13. 求以下各微分方程的通解：;解：方程两边连续积分两次得;解：积分得;解：令,那么原方程变为故.;解：设，那么原方程可化为即由p=0知y=c，这是原方程的一个解.当时，解：;解：;解：令,那么得得故..解：令，那么.原方程可化为14.求以下各微分方程满足所给初始条件的特解：;解：令，那么,原方程可化为由知，，从而有由,得故或.;解：令，那么.原方程可化为那么以代入上式得那么当x=1时，y=0代入得故所求特解为.;解：当，得以x=0,y=0代入上式得故所求特解为.;解：令，那么.原方程可化为以代入上式得.以x=0,y=1代入上式得故所求特解为;解：令，那么.原方程可化为即积分得以代入上式得,那么以x=0,y=0代入得，故所求特解为即. 即..解：令原方程可化为以代入得故由于. 故，即积分得以x=0,y=1代入得故所求特解为.15. 求以下微分方程的通解：;解：特征方程为解得故原方程通解为;解：特征方程为解得故原方程通解为;解：特征方程为解得故原方程通解为.;解：特征方程为解得故原方程通解为.;解：特征方程为解得故原方程通解为.解：特征方程为解得故原方程通解为.16. 求以下微分方程满足所给初始条件的特解：;解：特征方程为解得通解为由初始条件得故方程所求特解为.解：特征方程为解得通解为由初始条件得故方程所求特解为.解：特征方程为解得通解为由初始条件得故方程所求特解为..解：特征方程为解得通解为由初始条件得故方程所求特解为.17. 求下各微分方程的通解：;解：得相应齐次方程的通解为令特解为,代入原方程得,解得, 故,故原方程通解为.;解：对应齐次方程通解为令, 代入原方程得比拟等式两边系数得那么故方程所求通解为.;解：,对应齐次方程通解为令代入原方程得解得那么故所求通解为.;解：相应齐次方程的通解为令，代入原方程并整理得得那么故所求通解为.;解：相应齐次方程通解为令代入原方程得得那么故所求通解为.解：对应齐次方程通解为令代入原方程得故原方程通解为.18. 求以下各微分方程满足已给初始条件的特解：;解：特征方程为得对应齐次方程通解为令代入原方程并整理得得故通解为.将初始条件代入上式得故所求特解为..解：对应齐次方程通解为令,代入原方程求得那么原方程通解为由初始条件可求得故所求特解为.*19. 求以下欧拉方程的通解：解：作变换，即t=lnx,原方程变为即特征方程为故..解：设，那么原方程化为①特征方程为故①所对应齐次方程的通解为又设为①的特解，代入①化简得, 故 / 。