弹簧振子运动的研究.doc

弹 簧 振 子 运 动 的 研 究2002级5班 林锡辉 13班 方晓伟 如图（1）所示，把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动小球在水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称作振子图（1） 由弹簧振子的定义可以看出，振子在运动的过程中，由于合外力时刻在改变，从而导致了加速度速度跟着不断改变，因此它的运动就显得较为复杂为了能够更好的掌握它的运动规律，同时锻炼我们对运动的研究能力，我们对它进行了初步的研究 一、弹簧振子的周期和运动表达式1.周期规律 可能影响因素：小球的质量（M），弹簧的劲度系数（K）以及振子的振幅（A） （1）周期与振幅（A）的关系 质量为m的小球，前后两次振幅分别为，，弹簧的劲度系数为K，前后两次振动的周期分别为T1，T2 推论：在前后两个运动过程中分别取两小段位移，，使得，根据胡克定律及牛顿第二定律，得，∴ 由于位移x是任意的，且q为定值∴而∴ △结论：弹簧振子的周期与振幅无关 （2）周期与振子质量和劲度系数的关系。

有两个弹簧振子，振子的质量分别为，，弹簧的劲度系数分别为，，并且振子的振幅相同（因为周期与振幅无关，所以不用考虑它的影响） 推论：在两个运动中都取一小段位移x（任意的），同样有 由于是任取的， 同样可得 所以 因此有 由此可以看出：弹簧振子的周期与振子的质量的算术根成正比，与弹簧劲度系数的算术根成反比，即（其中n是一个与小球质量，弹簧劲度系数，振子振幅等无关的常数） 2.振子位移，速度，加速度的变化规律 根据沙漏实验（图2）可知：弹簧振子的位移——时间图像是一条余弦曲线因为右图沙漏实验得到的余弦曲线，实际上是由x方向上的匀速直线运动和y方向的振动的合成，因此y方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线图（2） 如图（3），以经平衡位置向右运动开始计时，则其初相为图（3） 设 （A ，ω>0） ∴. ∵ ∴ ∴ ∴. 如图（4）是弹簧振子运动的x-t图象图（4） 由图像可见（即正面的常数 η=2π）；当时，x达到正向最大，此时振子速度ν=0（振子ν-t图象如图（5）所示）；当时，振子位移为0，速度达到反向最大。

图（5） （3）振子机械能的变化规律 取任意时刻t，则此时系统的总机构能为： 如图（6）是振子动能和弹簧势能的关系图，亦可见其机械能总量E恒等于图（6） △结论：弹簧振子在运动过程中机械能守恒，恒为 上述弹簧振子均为理想化模型，在实际生活中，由于各种阻力的存在，导致振子周期出现偏差，与理论不相符；振子的振幅也会逐渐减小，机械能逐渐减小 4.恒力作用下的弹簧振子 如图（7）是竖直方向上的弹簧振子，振子受到一个恒力--重力的作用设弹簧的劲度系数为K，自然长度为，振子静止时弹簧伸长量为△x，则有：mg=k△x 现将振子向下拉伸x，则： 因为ΣF与x反向，所以矢量式为∴图（7）由此可见，恒力作用下的弹簧振子（此时平衡位置为静止放置时振子所在处）周期不变，运动表达式不变 二.实验验证周期公式（主要验证周期与质量和振幅的关系） 1.实验装置： （1）如图（1），弹簧和小球（穿孔）穿过细杆，一端固定在支架上，另一端系着一个小球，使小球在细杆上振动这种装置既有优点，亦有缺点 优点：可以避免小球在振动中偏离原来的轨道。

缺点：由于细杆与小球间存在较大的摩擦，给实验造成较大的误差为减小摩擦，考虑在细杆上涂一层油脂但是油是粘性物质，会给实验造成新的误差 （2）既然水平细杆的存在会造成摩擦，那么去掉呢？则小球会下落但如果顺应或防止这种下落，实验还是可以顺利进行 ①顺应下落将水平弹簧振子变为竖直方向上的弹簧振子，如图（7），由于恒力对振子周期没有影响，因此可以用此装置实验这种装置的优点是：可以减少阻力的影响；但当振子的振幅较大时，振子会左右摆动图（8） ②防止小球下落考虑用细线吊住小球，但是由于左右受力不平衡，会造成小球严重脱离轨道因此可以在小球右端加多一根劲度系数与左边相近的弹簧（此时）如图（8） 虽然解决了偏离问题，但也存在一些新的问题 △当振幅太大时，小球受到细绳的拉力变大，且此拉力水平分量也变大，小球会上偏 △解决办法：（1）增加细绳长度这样，相同振幅下，绳偏离角度变小，绳拉力的水平分量减小，且小球上偏程度减小2）减小振子振幅，同样可以减小阻力和上偏程度 比较图（7）和图（8）装置，图（8）的装置显得优越些因此，实验时选择图（8）装置 2.实验测取数据并分析整理 按图（8）装置，取不同质量的小球，振子振幅不同（都不会太大）。

测得的数据如下（弹簧劲度系数k=k1+k2=23.13+23.13=46.43N/m）振量质幅时间2cm（30次）4cm（30次）6cm（30次）平均值（1次）理论值（1次）0.133Kg11.0s11.3s12.4s0.3750.3400.184Kg12.1s12.3s12.3s0.4080.3950.245Kg13.7s13.9s14.0s0.4620.450 △结论：在误差允许的范围内，周期满足公式，即周期与小球质量的算术平方根成正比，与振幅无关 三.弹簧振子的扩展--简谐运动 1.除了弹簧振子外，单摆也是简谐运动的典例下面我们对单摆进行研究 （1）单摆周期与质量的关系 如图（9）是一个单摆前后两次用两个质量分别为M，m（M 〉m）小球拉开相同的角度，然后放手让小球作单摆运动图（9） 假如质量大的周期长（即速度快），所以M运动的速度小于m如果有一个质量M+m的小球，则它下落的速度应小于M但是，将M+m的小球看成两部分，由于m下落比M快，m可以带动M从而使整个球的速度大于M，这与质量大的周期长相等因此质量大的周期不一定长同样，我们可以推出，质量小的周期也不一定长。

由此可见，周期与小球质量无关 （2）推导单摆周期公式 现在，让我们用能量的角度来推导如图（10）当小球的振幅为A时，有（∵θ很小，所以振幅为θA） Rt△0θD∽Rt△θ0E ∴图（10） ∴ 同样，当位移为x时， ∴ 由于绳的拉力方向始终垂直于小球的速度方向，因此拉力对绳不做功，机械能守恒 ∴ ∴ ∴ …① 根据弹簧振子机械能守恒公式得…② 对比①②式，用取代，即可得：（亦可得到位移x，速度v，加速度a的表达式） 2.据对弹簧振子和单摆的研究可以得到简谐运动的一般规律 （1）回复力（亦可写成F=-kx，k为比例常数） （2）周期T= （3）瞬时速度 3.简谐运动的其它例子 （1）均速圆周运动质点在x轴（或y轴）上的投影作反复运动，可以证明，它的运动是简谐运动 如图所示： △在x轴投影的位移 △在y轴投影的位移 由此可见，两个相互垂直，振幅，频率相同初相差为的简谐运动的合成是匀速圆周运动2）如下的运动亦为简谐运动： 在半径较大的光滑圆弧槽中运动的小球，其运动为简谐运动，类似单摆。

弯曲水管中的具有一定高度差的水在做简谐运动两物块固定在弹簧两端压缩（或拉伸）一段距离后放手，两物块做简谐运动，周期相同简谐运动是最简单最原始的振动，它在自然界中广泛存在在此次研究性学习中，我们没有查到太多的资料，以上的理论，大多是我们用自己所学的知识推导出来的，因此不免显得有些浅薄，敬请见谅但是，此次学习中我们也学到了一些东西我们不仅初步掌握了弹簧振子、单摆等的规律，增长了见识，同时也提高了我们的思维能力和实验能力，掌握了研究运动的基本方法。