对称性原理课件.ppt

对称性原理对称性原理§5.4对称性对称性·对称性与守恒定律对称性与守恒定律 一、一、对称性对称性 关于对称性的普遍的严格的定义是德国数学关于对称性的普遍的严格的定义是德国数学家魏尔（家魏尔（H.Weyl））1951年给出的：对一个事物年给出的：对一个事物进行一次变动或操作，如果经过操作后，该事进行一次变动或操作，如果经过操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称的称的. 而该操作就叫对称操作而该操作就叫对称操作. 由于操作方式不由于操作方式不同而有若干种不同的对称性同而有若干种不同的对称性.《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理(1)镜象对称或左右对称镜象对称或左右对称O 常见的对称性常见的对称性 (2)转动对称转动对称 (3)平移对称平移对称 d《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理二、二、 基本操作与对称性的分类基本操作与对称性的分类1. 空间操作与空间对称性空间操作与空间对称性 ①①平移：平移：对平移操作状态不变的系统具有对平移操作状态不变的系统具有平移对称性。

平移对称性a)ddx y(b)(c)·······(d)平移对称平移对称平移平移 d 对称对称无平移对称无平移对称宏观上平宏观上平移对称移对称《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理②②转动：转动：·轴轴(a)·轴轴(b)·轴轴(c)·对转动操作状态不变的系统具有对转动操作状态不变的系统具有转动对称性转动对称性 对绕空间一固定点作任意旋转都不变的系统对绕空间一固定点作任意旋转都不变的系统具有具有球对称性球对称性轴对称轴对称一次轴（对称）一次轴（对称）四次轴（对称）四次轴（对称）绕某个定轴旋转一个角度的操作绕某个定轴旋转一个角度的操作《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理③③镜象反射：镜象反射：反射面反射面左左右右(b)···· z′′··反射面反射面(c)xx′′ y y′′ z上下、左右均对称上下、左右均对称 只左右对称只左右对称坐标系反射坐标系反射右手右手坐标坐标左手左手坐标坐标 根据镜象反射的性质可将物理学中的矢量根据镜象反射的性质可将物理学中的矢量极矢量极矢量 和和 轴矢量轴矢量反反射射面面反射面反射面左左右右(a)下下上上····相当于相当于“照镜子照镜子”的变换。

的变换分成两类：分成两类：《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理平行平行反射面的分量反射面的分量不变向如：如： ，，…反射面反射面′′vv ′′v ′′vvvv ′′ vv ′′v极矢量：极矢量：镜象反射中镜象反射中垂直垂直反射面的分量反射面的分量反向，反向，《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理分量分量不变向不变向 ，平行，平行反射面的分量反射面的分量反向如：如： …反射面反射面′′L′′LLL··′′L··L··L可以证明：可以证明：极矢量极矢量×极矢量极矢量 轴矢量轴矢量（极）（极）（极）（极） （轴）（轴）′′L··轴矢量（赝矢量）：轴矢量（赝矢量）： 镜象反射中镜象反射中垂直垂直反射面的反射面的《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理▲ 文学创作中也有镜象对称文学创作中也有镜象对称 回文词回文词 雾雾 窗窗 寒寒 对对 遥遥 天天 暮暮暮暮 天天 遥遥 对对 寒寒 窗窗 雾雾 镜象反射面镜象反射面花花 落落 正正 啼啼 鸦鸦鸦鸦 啼啼 正正 落落 花花袖袖 罗罗 垂垂 影影 瘦瘦风风 剪剪 一一 丝丝 红红瘦瘦 影影 垂垂 罗罗 袖袖红红 丝丝 一一 剪剪 风风纳兰性德纳兰性德《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理 回文诗回文诗 苏东坡苏东坡《题金山寺》《题金山寺》潮随暗浪雪山倾潮随暗浪雪山倾远浦渔舟钓月明远浦渔舟钓月明桥对寺门松径小桥对寺门松径小巷当泉眼石波清巷当泉眼石波清迢迢远树江天晓迢迢远树江天晓蔼蔼红霞晚日晴蔼蔼红霞晚日晴遥望四山云接水遥望四山云接水碧峰千点数鸥轻碧峰千点数鸥轻反射面反射面 回文对联回文对联 上海自来水来自海上上海自来水来自海上南山长生松生长山南南山长生松生长山南上海自来水来自海上上海自来水来自海上南山长生松生长山南南山长生松生长山南明月钓舟明月钓舟清波石眼清波石眼晴日晚霞晴日晚霞轻鸥数点轻鸥数点《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理④④空间反演：空间反演： 直角坐标系中的空间反演直角坐标系中的空间反演 空间反演空间反演不变不变的系统具有对的系统具有对O的的点对称性。

点对称性反映空间反演对称性的物理量叫反映空间反演对称性的物理量叫宇称宇称 (parity)··o zx yx y z′′′′′′点对称性点对称性空空间间反反演演 +镜面反射镜面反射绕镜面法线绕镜面法线旋转旋转 180°=的空间反演的空间反演的操作称为对原点的操作称为对原点O例如，立方体对其中心具有点对称性例如，立方体对其中心具有点对称性《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理2. 时间操作与时间对称性时间操作与时间对称性①①时间平移：时间平移：▲ ▲ 静止物体对时间平移具有对称性；静止物体对时间平移具有对称性；▲ ▲ 匀速运动物体的速度对时间平移具有对称性；匀速运动物体的速度对时间平移具有对称性；▲ ▲ 周期系统对时间平移整数周期具有对称性周期系统对时间平移整数周期具有对称性②②时间反演：时间反演： g gv上上抛抛-v下下落落▲▲《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理▲ 力对时间反演变换有两种情况：力对时间反演变换有两种情况：保守力保守力只与物体相对位置有关，只与物体相对位置有关， 故故对时间反演不变。

对时间反演不变耗散力耗散力与速度方向有关，与速度方向有关， 故故对时间反演变化对时间反演变化▲ 牛顿第二定律对保守系统时间反演不变，牛顿第二定律对保守系统时间反演不变， 对非保守系统则不具有时间反演不变性对非保守系统则不具有时间反演不变性▲ 统计规律（如扩散）没有对时间反演的不变性统计规律（如扩散）没有对时间反演的不变性研究系统时间反演的性质要区分宏观和微观研究系统时间反演的性质要区分宏观和微观《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理3. 联合操作与对称性联合操作与对称性 有的系统对某种操作可能不具有对称性，有的系统对某种操作可能不具有对称性，但对几种操作的联合却可能具有对称性但对几种操作的联合却可能具有对称性例如：例如： 对绕中心转对绕中心转180°和黑白置换的联合和黑白置换的联合操作具有对称性操作具有对称性。

《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理 对镜象反射加上黑白置换也许还要加上必对镜象反射加上黑白置换也许还要加上必要的平移操作才构成对称操作要的平移操作才构成对称操作《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理对此联合操作是不变的对此联合操作是不变的伽里略变换是一种时空联合操作，伽里略变换是一种时空联合操作，同样，洛仑兹变换也是一种时空联合操作，同样，洛仑兹变换也是一种时空联合操作，但牛顿定律对此联合操作就不是不变的了但牛顿定律对此联合操作就不是不变的了物理学中除上述的时间、空间操作外，物理学中除上述的时间、空间操作外，还涉还涉及到一些其它的操作，及到一些其它的操作， 例如：电荷共轭变换例如：电荷共轭变换（粒子与反粒子间的变换），（粒子与反粒子间的变换），规范变换，规范变换，牛顿定律牛顿定律全同全同粒子置换等等。

粒子置换等等它们也和系统的某些对称性它们也和系统的某些对称性《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理三、三、 对称性原理对称性原理 自然规律反映了事物之间的自然规律反映了事物之间的 “ 因果关系因果关系 ” 稳定的因果关系稳定的因果关系要求有要求有可重复性和预见性可重复性和预见性 即：相同的原因必定产生相同的结果即：相同的原因必定产生相同的结果 称性原理：称性原理：（（Pierre Curie 1894年首先提出）年首先提出） 原因中的对称性必然存在于结果中，原因中的对称性必然存在于结果中， 结果中的不对称性必然存在于原因中结果中的不对称性必然存在于原因中 对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的体知道某些物理规律的情况下给出所需的结论。

体知道某些物理规律的情况下给出所需的结论一条基本原理一条基本原理 根据对称性原理，根据对称性原理，往往可在不具往往可在不具《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理···· f v0 m力心力心 ▲ 根据对称性原理可论证，根据对称性原理可论证，质点在有心力场的作用下，质点在有心力场的作用下，必在同一平面内运动必在同一平面内运动应用举例：应用举例：v10Co2·· ··mmo1v20v2v1··▲ 论证质心系中两个质量相等的球论证质心系中两个质量相等的球对心碰撞后，速度必在球心联线上，对心碰撞后，速度必在球心联线上，且大小相等、方向相反且大小相等、方向相反 （动量守恒）（动量守恒）▲ 如果抛体轨迹不在铅直面内如果抛体轨迹不在铅直面内(结果中出现了不对称结果中出现了不对称)，，则一定存在对铅直面不对称的原因则一定存在对铅直面不对称的原因 这是对称性原理反过来的应用。

这是对称性原理反过来的应用《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理四、四、 对称性与守恒定律对称性与守恒定律 每个守恒定律都相应于一种对称性每个守恒定律都相应于一种对称性(变换不变性变换不变性)▲ 空间平移对称性与动量守恒定律空间平移对称性与动量守恒定律：：有空间平移对称性的系统，其动量必然守恒有空间平移对称性的系统，其动量必然守恒以两粒子系统为例：以两粒子系统为例：设系统相互作用能设系统相互作用能U平移对称平移对称··AB fA fB··A′′ dSA′′B dSB dSA=-《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理 这样就由系统的平移对称性，导致了不受这样就由系统的平移对称性，导致了不受即从空间平移不变性导出了动量守恒定律。

即从空间平移不变性导出了动量守恒定律▲ 空间的各向同性与角动量守恒定律：空间的各向同性与角动量守恒定律：位无关，位无关，可以证明：可以证明：系统如果具有转动对称性，则必然角动量守恒系统如果具有转动对称性，则必然角动量守恒外力作用的系统的动量守恒外力作用的系统的动量守恒则系统具有转动对称性（各向同性）则系统具有转动对称性（各向同性） 一个系统中的物理现象如果和该系统所处的方一个系统中的物理现象如果和该系统所处的方空间各向同性将导致角动量守恒定律成立空间各向同性将导致角动量守恒定律成立《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理▲ 时间均匀与能量守恒定律：时间均匀与能量守恒定律： 系统中的物理现象如果和时间的平移无关，系统中的物理现象如果和时间的平移无关，就说明时间是均匀的就说明时间是均匀的 可以证明：可以证明： 时间的均匀性将导致能量守恒定律的成立。

时间的均匀性将导致能量守恒定律的成立 一个系统如果对时间平移变换具有对称性，一个系统如果对时间平移变换具有对称性，则其能量必然守恒则其能量必然守恒 随着物理学的发展，人们认识的对称性和守随着物理学的发展，人们认识的对称性和守恒量也越来越多恒量也越来越多除能量、动量和角动量外还除能量、动量和角动量外还宇称等守恒量宇称等守恒量有电荷、有电荷、 轻子数、轻子数、重子数、重子数、《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理而且还能指导我们去探索未知的领域而且还能指导我们去探索未知的领域对称性原理是超越物理各个领域的普遍法则，对称性原理是超越物理各个领域的普遍法则，在未涉及一些具体定律之前，在未涉及一些具体定律之前， 我们往往可能根据我们往往可能根据对称性原理作出一些判断，对称性原理作出一些判断， 得出某些有用的信息得出某些有用的信息这些法则不但不会与已知领域中的具体定律相悖，这些法则不但不会与已知领域中的具体定律相悖，《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理§5.4.2守恒律与对称性守恒律与对称性 在物理学中具有更深刻意义的是物理定律的对称性在物理学中具有更深刻意义的是物理定律的对称性. 物理定律的对称性是指经过一定的操作后，物理定律的物理定律的对称性是指经过一定的操作后，物理定律的形式保持不变，因此物理定律的对称性又叫不变性形式保持不变，因此物理定律的对称性又叫不变性. 关于物理定律的对称性有一条很重要的定律：关于物理定律的对称性有一条很重要的定律：对应对应于每一种对称性都有一条守恒定律于每一种对称性都有一条守恒定律. 如：对应于空间均如：对应于空间均匀性的是动量守恒定律；对应于空间的各向同性的是角匀性的是动量守恒定律；对应于空间的各向同性的是角动量守恒定律；对应于空间反演对称的是宇称守恒定律；动量守恒定律；对应于空间反演对称的是宇称守恒定律；对应于量子力学相移对称的是电荷守恒定律等等对应于量子力学相移对称的是电荷守恒定律等等. 物理物理定律的时间平移对称性决定了能量守恒定律的时间平移对称性决定了能量守恒.《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理1.机械能对空间坐标系平移对称性与动量守恒机械能对空间坐标系平移对称性与动量守恒 设体系由两个相互作用的粒子组成设体系由两个相互作用的粒子组成.且只限于在且只限于在x轴上运动（如图）轴上运动（如图）,不受其它外力不受其它外力.当两粒子间的距离当两粒子间的距离 x = x2 - x1时，时，体系的势能体系的势能当体系发生一平移当体系发生一平移  x 时，两粒子的坐标为时，两粒子的坐标为但两者的距离仍为但两者的距离仍为 x = x2 - x1.《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理即动量守恒即动量守恒. 空间的平移对称必性意味着势能空间的平移对称必性意味着势能 Ep 应与应与 x无关无关. 势势能对空间坐标系平移保持不变性要求能对空间坐标系平移保持不变性要求即即 粒子受力粒子受力 又得又得 即即 《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理表明质点受有心力作用，有心力对力心的力矩等表明质点受有心力作用，有心力对力心的力矩等于零，角动量守恒于零，角动量守恒.《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理3.机械能对时间平移对称性与机械能守恒机械能对时间平移对称性与机械能守恒 设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为m速度速度为为 vx 的质点位于的质点位于x处处. 系统总机械能系统总机械能 机械能对时间平移具有对称性，则机械能对时间平移具有对称性，则 《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理而而 故故 即即 E = 常量常量 其实，某些量也有不守恒的时候，如在弱相其实，某些量也有不守恒的时候，如在弱相互作用过程中互作用过程中宇称宇称不守恒不守恒.《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理第七节第七节曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x)上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向 一、弧微分 有向弧段 的值MM0(弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0 s<0 对曲线上任一点 M(x y) MM0(规定有向弧段 的值 s (简称s>0《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 或者 《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．)弯曲程度越大转角越大弯曲程度越大转角越大转角相同弧段短的弯曲大转角相同弧段短的弯曲大1 1、曲率的定义、曲率的定义))二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注注: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理例例例例1.1. 求半径为求半径为R R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 . .解解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率曲率曲率K K 的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理注:参数方城下曲率的计算《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理 例2 计算等边双曲线xy1在点(1, 1)处的曲率.曲线在点(1 1)处的曲率为因此y|x11 y|x12解 《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理 例3 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a| 《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理例例例例4.4. 求椭圆求椭圆在t=0处的曲率.解解:故曲率为在t=0处,即在点(a,0)的曲率为思考: 上面的椭圆在何处曲率最大上面的椭圆在何处曲率最大? ?《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注注: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理 例5 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得《对称性原理》PPT课件 对称性原理对称性原理内容小结内容小结1. 弧长微分或2. 曲率公式3. 曲率圆曲率半径《对称性原理》PPT课件。