复变函数第二章第三节.ppt

定义定义2.8(单叶函数单叶函数））设函数设函数f(z)在区域在区域D内有定义内有定义,且对且对D内任意不同内任意不同的两点的两点z1及及z2都有都有f(z1)≠f(z2),则称函数则称函数 f(z)在在D内是内是单叶的单叶的.并且称区域并且称区域D为为f(z)的单叶性区域的单叶性区域.显然显然,区域区域D到区域到区域G的单叶满变换的单叶满变换w=f(z)就是就是D 到到G的一一变换的一一变换.f(z)=z2不是不是C上的单叶函数上的单叶函数. f(z)=z3是是C上的单叶函数上的单叶函数第三节 初等多值函数定义定义2.9 若若z=wn,则称则称w为为z的的n次根式函数，记为：次根式函数，记为：, 根式函数根式函数 为幂函数为幂函数z=wn 的反函数的反函数. (1) 根式函数的多值性根式函数的多值性.1. 根式函数根式函数 (2) 分出根式函数的单值解析分支分出根式函数的单值解析分支. 从原点从原点O起到点起到点∞任意引一条射线将任意引一条射线将z平面割破，该平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边构成以此割线为边界的区域，记为界的区域，记为G)上，上， argz<2 ，从而可将其转化，从而可将其转化为单值函数来研究。

为单值函数来研究 wk在其定义域上解析在其定义域上解析,且且 分成如下的分成如下的n个单值函数：个单值函数： (3) 的支点及支割线的支点及支割线定义定义1 设设 为多值函数，为多值函数， 为一定点，作小圆周为一定点，作小圆周 ，若变点，若变点 沿沿 转一周，回到出发点时，转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称函数值发生了变化，则称 为为 的的支点支点，如，如就是其一个支点，这时绕就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点转一周也可看作绕点转一周，故点转一周，故点 也是其一个支点也是其一个支点.常用方法常用方法：： 从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面割破平面割破,即可将根式函数即可将根式函数:定义定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支的割线，称为多值函数的支割线支割线.如如 可以以负实轴为支割线可以以负实轴为支割线.注注 a) 支割线可以有两岸支割线可以有两岸.b) 单值解析分支可连续延拓到岸上单值解析分支可连续延拓到岸上.c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.d) 对对 ，当以负实轴为支割线时，当，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为时取正值的那个分支称为主值支主值支.上岸下岸二、对数函数二、对数函数1. 定义定义2.计算公式计算公式：：说明说明：：w=Lnz是指数函数是指数函数ew=z的反函数，的反函数，Lnz一般不能写成一般不能写成lnz,其余各值为其余各值为例例1 解解注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对数而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广函数是实变数对数函数的拓广.例例2解解3. 对数函数的性质对数函数的性质4. 分出分出w=Lnz的单值解析分支的单值解析分支从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面平面割破割破，就可将，就可将对数函数对数函数w=Lnz分成如下分成如下无穷多个无穷多个单值解析分支：单值解析分支： wk在在定义域定义域上解析上解析,且且例例1 设设 定义在沿负实轴割破的平面上，且定义在沿负实轴割破的平面上，且 以以 为支点，连接为支点，连接 的的任一任一（广义）简单曲线可作为其支割线（广义）简单曲线可作为其支割线.解：解：求值：求值： （是下岸相应点的函数值）求（是下岸相应点的函数值）求 的值的值.三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数1. 乘幂乘幂:3. 幂函数的解析性幂函数的解析性原点和负实轴的复平面内是解析的原点和负实轴的复平面内是解析的,例例1 1解解它是无穷多个独立的、在它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。

平面上单值解析的函数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:四、反三角函数和反双曲函数四、反三角函数和反双曲函数2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义例例1 1解解五、具有有限个支点的情形五、具有有限个支点的情形设有任意设有任意N次多项式：次多项式：分别为分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为的一切相异零点，对应重数为且有且有则函数则函数的支点有以下结论：的支点有以下结论：(1) 的可能支点为的可能支点为 和和 ；；(2) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时， 是是 的支点；的支点；(3) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时， 是是 的支点；的支点；(4) 若若 能整除能整除 中若干个之和，则中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变点中对应的几个就可以联结成割线，即变点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变数值不变.例例1 1 作出一个含作出一个含 i 的区域的区域,使得函数使得函数在此区域内可分解成单值解析分支在此区域内可分解成单值解析分支, ,求一个分支在求一个分支在i点点解可能的支点为可能的支点为易知函数易知函数因因0,1,2与与无穷无穷，具体分析见下图具体分析见下图结论：结论：0 0、、1 1、、2 2与无穷都是支点。

与无穷都是支点的值的值, ,使其满足使其满足支点确定后，我们作支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支区域，将函数分解成单值解析分支首先，在复平面内作一条连接首先，在复平面内作一条连接0,1,20,1,2及及无穷远点无穷远点的任意无的任意无界简单连续曲线作为割线界简单连续曲线作为割线, ,在所得区域内在所得区域内, ,可以把可以把w分解成分解成连续分支例如连续分支例如, ,可取可取 作为割线作为割线, ,得到区域得到区域D其次其次, ,也可以取线段也可以取线段[0,1][0,1]及从及从2 2出发且不与出发且不与[0,1][0,1]相交的相交的射线为割线射线为割线, ,在所得区域内在所得区域内, ,可以把可以把w分解成连续分支例分解成连续分支例如，可取如，可取[0,1][0,1]及及 作为割线作为割线, ,得到区域得到区域 例例2 2 验证函数验证函数内内可可以以分分解解成成解解析析分分支支;求求出出这这个个分分支支函函数数在在(0,1)解解由于故故0,1是支点，是支点，无穷远点无穷远点不是支点不是支点在区域在区域D=C\[0,1]上沿取正实值的一个分支在上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值处的值。

结论结论:0,1是支点是支点, ,无穷远点不是支点无穷远点不是支点 因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定其四个解析分支为：则对应的解析分支为则对应的解析分支为k=0在在z=-1处，有处，有，所以所以。