幂级数函数的幂级数展开法ppt课件.ppt

第六章 无穷级数6.3 幂级数本节内容一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、 Taylor 级数及其应用 6.3 幂级数一、 函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数 .对若常数项级数敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 .6.3 幂级数为级数的和函数 , 并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它6.3 幂级数例如, 等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数 6.3 幂级数二、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数, 其中数列下面着重讨论例如, 幂级数为幂级数的系数 .即是此种情形.的情形, 即称 6.3 幂级数发 散发 散收 敛收敛 发散定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式证: 设收敛,则必有于是存在常数 M 0, 使6.3 幂级数当 时, 收敛,故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,证毕6.3 幂级数幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .外发散; 在(R , R ) 称为收敛区间.发 散发 散收 敛收敛 发散6.3 幂级数定理2. 若的系数满足证:1) 若 0, 则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,则 6.3 幂级数2) 若则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径6.3 幂级数对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域.解:对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例1.求幂级数 6.3 幂级数例2. 求下列幂级数的收敛域 :解: (1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 16.3 幂级数例3.的收敛半径 .解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由6.3 幂级数例4.的收敛域.解: 令 级数变为当 t = 2 时, 级数为此级数发散;6.3 幂级数当 t = 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即6.3 幂级数幂级数及其和函数的基本性质定理3. 设幂级数及的收敛半径分别为令则有 :6.3 幂级数定理4 若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.6.3 幂级数解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.例5.则故有故得的和函数 .因此得设6.3 幂级数例6. 的和函数解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发散,6.3 幂级数例7. 求级数的和函数解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及收敛 , 6.3 幂级数因此由和函数的连续性得:而及6.3 幂级数三、泰勒 ( Taylor ) 级数及其应用 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :6.3 幂级数为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 6.3 幂级数定理5 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有定理6. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.6.3 幂级数函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为0骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开6.3 幂级数例8. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故故得级数 6.3 幂级数例9. 将展开成 x 的幂级数.解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足6.3 幂级数类似可推出:6.3 幂级数例10. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 6.3 幂级数称为二项展开式 .说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.6.3 幂级数对应的二项展开式分别为6.3 幂级数2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例11. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 6.3 幂级数例12. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛6.3 幂级数例13. 将展成解: 的幂级数. 6.3 幂级数例14. 将展成 x1 的幂级数. 解: 6.3 幂级数内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求 .6.3 幂级数2. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开3. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .6.3 幂级数当 m = 1 时6.3 幂级数思考与练习 1. 已知处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答: 根据Abel 定理可知, 级数在收敛 ,时发散 . 故收敛半径为6.3 幂级数2. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.3. 如何求的幂级数 ?提示:6.3 幂级数作业 P180:1(1)(2)(3) 。