使用留数定理计算实积分.doc

用留数定理计算实积分一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法重点：用留数定理计算实积分的方法难点：定理的应用二：教学目标或要求：真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分留数定理的一个重要应用是计算*此实变函数的积分.如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来.　　把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成*个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体介绍几个类型的实变定积分.一计算型积分令，则与均可用复变量表示出来，从而实现将变形为复变量的函数的愿望，此时有同时，由于，所以，且当由变到时，恰好在圆周上变动一周。

故使积分路径也变成了所期望的围线至此，有于是，计算积分的方法找到了，只需令即可例 求解 当 时， ；当 时，令 ， 　　 当 时，在 ， 仅以 为一级极点，在 上无奇点，故由留数定理　　　　　　　　　当时,在仅以为一级极点,在上无奇点，　　　　　　　　 例 计算积分.解：令得：先求的奇点及其留数.令其分母为零得：这就是的两个单极点.单极点的模为：所以极点在单位圆内.而单极点的模为:所以在单位圆外，在极点处.　　此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分：之值.为此，在前例中，用代得：两也对a求导得：令a=1得，即：例 求解为偶函数，故 ，令 ，则　　　　 在 内部 仅有 为一级极点，　　　 　 ，故 ，比较实部得 ，故 例 计算积分.解：若直接作变换，则积分复杂，若先考虑积分:作变换：，则:因为的阶极点.所以：故：比较两边的实部和虚部得：一 计算型积分由于，考虑添加辅助曲线与实轴上是区间 构成围线 ，则　　　 ，其中为落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出的值，再取极限即得引理6.1 设在圆弧充分大)上连续,且在上一致成立(即与中的 无关)，则 证，由于 在 上一致成立，故　　 ，　　 定理6.7 设为有理分式，其中 ，为互质多项式,且（1） ；（2）在实轴上 ，则 。

证 由,,存在,且　　　 作,与线段一起构成围线,取足够大，使的内部包含在上半平面内的一切孤立奇　　 点,由在实轴上知,在上没有奇点,由留数定理得 ，又 由于　　　　　当时,，由引理6.1，　　　　　 ，于是 例　设，计算解： 为偶函数，所以函数的奇点为故在上半平面的奇点为：，而：例 计算积分解 经验证，此积分可用（7.11）式计算．首先，求出在上半平面的全部奇点．令 即于是，在上半平面的全部奇点只有两个： 与 且知道，与均为的一级极点．其次，算留数，有最后，将所得留数代入（7.11）式得.二 积分的计算 引理6.2(Jordan) 设在半圆周充分大)上连续,且 在 上一致成立，则证，由于 在 上一致成立，故 ,　　　　 Jordan不等式 由于 ，　 故 ，于是 定理6.8 设,其中及为互质多项式,且（1） 的次数比 的次数高；（2）在实轴上 ；（3） ，则 ，特别地分开实、虚部就可以得到　　　　　 与 的积分例 计算积分解：为偶函数，有两个单极点，其中在上半平面，其留数为：例 计算积分．解 经验证，该积分可用（6.14）式计算．首先，求出辅助函数在上半平面的全部奇点．由解得与为的奇点，而，所以，在上半平面只有一个奇点，且为的一级极点．其次，计算留数．有最后，由（6.14）式得。

例 计算积分解 若令则，即的实部为因此，为了计算，只需求出积分即可，而该积分可用（6.11）式计算为用（6.11）式，先求出辅助函数在上半平面的奇点只有点（另一个奇点为），于是，由（6.14）式得而故从而有 于是 即这里要指出的是，由所求积分的特征，计算所给积分也可直接利用（6.14）式进行复变函数论课程教案授课题目（教学章节或主题）：第二节 续授课类型　 理论课授课时间第15周第1－2节教学目标或要求：掌握 积分路径上有奇点的积分的计算 典型例题教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：积分路径上有奇点的积分的计算 典型例题重点：积分路径上有奇点的积分的计算难点： 典型例题教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习： 265 页1－5参考资料（含参考书、文献等）：《单复变函数》 J.B. 康威 著 吕以辇 *南岳 译**科学技术 1985注：1、每项页面大小可自行添减；2一次课为一个教案；3、"重点”、"难点”、"教学手段与方法”部分要尽量具体；4、授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课等。

4.计算积分路径上有奇点的积分前面所讲的三种类型都是在实轴上没有奇点的情况，如果在实轴上有奇点则前述计算方法不完全适用例如在实轴上有一个奇点(为实数)，要计算，在作辅助线时，应绕过奇点，具体办法是在上半平面，作一个以为心，半径为的半圆周，积分沿进行，然后令取极限(如图所示)令，上式左端用留数定理计算，再令若满足引理条件，主要的就是求积分.如果实轴上有n个奇点，则分别以各奇点为心，为半径作上半平面的半圆，经过奇点即可，例 计算狄利克雷积分解：先将积分变换为对于第二个积分，作变换，则：故　　　　　由于为的极点，实际上上式应写成：这样我们作如图所示的辅助线，使组成一个复围线，则：令在上半平面并无奇点，所以.而：有　　　　　所以　　　　因此：　　　　　　　(为解析函数)因为解析函数在上必有界(在边界上达最大值，　　　　　　　　　　当时：由此可得：而即故由此还可得出推论：. z.。