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用心爱心专心九年级数学二次函数的综合问题华东师大版【同步教育信息 】一. 本周教学内容：二次函数的综合问题【典型例题】例 1. 已知抛物线与x 轴交于（ 2，0），（ 4， 0），且顶点为()192，求：函数的解析式解 1：设解析式为yaxbxc2，则0420164921214abcabcabcabc解得：函数解析式为yxx1242解 2：设解析式为ya xx()()24顶点坐标为()192，9212 1412aa()()，函数解析式：yxx1224()()1242xx解 3：设解析式为ya x()1922则有099212aa，函数解析式：yx121922()1242xx例 2. 已知二次函数的图象与x 轴交于A（ 2，0）， B（3，0）两点，且函数有最大值是 2，（1）求：二次函数图象的解析式（2）设此二次函数图象的顶点为P，求： ABP 的面积分析： 与几何知识结合的函数问题，要注意几何量的大小与点的坐标间的关系解： （1）二次函数的图象与x 轴交于点A（ 2，0）， B（3，0）设解析式为ya xx()()23用心爱心专心即ya xa()122542，2542825aa所求解析式为yx8251222()另解：图象过（2，0），（ 3，0）对称轴为x12顶点为（122，）设ya xx()()23，把()122，代入即可（2）| | |ABOAOB5，AB 边上的高即P到 x 轴的距离，为函数最大值2 SABP 12525例 3. 如图，在矩形ABCD中， BD 20，AD AB，设 ABD ，已知sin是方程25351202xx的一个实数根，点E、F 分别是 BC、DC 上的点， EC CF8，设 BEx， AEF 的面积等于y （1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 E、F 两点在什么位置时，y 有最小值？并求出最小值解： （1）解方程25351202xx可得sinsin3545或ADAB， sin45在 RtABD 中， AD BD sin204516ABBDAD2222201612设 BE 为 x，则有CExFCCEx1688，DFFCx1220SSSSSAEFABCDABECEFADF矩形yxxxx1612121212162012168()()()1210962xx()816x用心爱心专心（2）yxxx12109612104622()当x10时， y 有最小值是46 故当 BE10，CF2 时， y 有最小值是46 例 4. 如图， ABC 中， BC4， B45，AB3 2，M、N 分别是 AB 、AC 上的点， MN BC，设 MN 为 x， MNC 的面积为S。

1）求出 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围2）是否存在平行线段MN ，使 MNC 的面积等于2，若存在，求出MN 的长；若不存在，请说明理由解： （1）过点 A 作 AD BC，垂足为D，则有AD3 2453sin设 MNC 的 MN 上的高为h MN BC xhhx4331234，SMNhxxxxx121212343832042()（2）若存在这样的平行线段MN ，使SMNC，2则方程3832202xx必有实数解，即方程3121602xx必有实数解，但该方程的判别式()1243216480，说明它没有实解，矛盾，所以不存在这样的平行线段MN ，使SMNC2例 5. 某商场购进一批单价为16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20 元的价格销售时，每月能卖360 件，若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖210 件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元 /件）的一次函数1）试求 y 与 x 之间的关系式（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少元？解： （1）设ykxb，依题意，得2036025210kbkb解得：kb30960yxx309601632()（2）设月利润为w，则wy x()16用心爱心专心()()()3096016302419202xxxa300， w 有最大值。

当x24时， w 最大，最大利润为1920 元例 6. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随着时间t 的变化规律有如下关系式：ytttttt224100010240102073802040()()()（1）讲课开始后，第5 分钟时与讲课开始后第25 分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学难题，需要讲解24 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解： （1）当x5时，y195，当x25时，y205讲课开始后第25 分钟时学生的注意力比讲课开始后第5 分钟更集中（2）当010t时，yttt222410012244()，该图像的对称轴为t12，在对称轴左侧，y 随 t 的增大而增大，所以，当t10时， y 有最大值240，当2040t时，yt 7380，y 随 t 的增大而减小， 所以， 当t20时，y 有最大值240 所以，讲课开始后10 分钟时，学生的注意力最集中，能持续10 分钟（3）当010t时，令ytt224100180t4当2040t时，令yt 7380180，t2857.所以，学生注意力在180 以上的持续时间为285742457.（分钟）所以，老师可经过适当安排，能在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。

例 7. 如图，已知二次函数yxbxc122的图像经过点A（ 3，6），并与 x 轴交于B（ 1，0）和点 C，顶点为P （1）求这个二次函数解析式（2）设 D 为 OC 上一点，满足DPC BAC ，求点 D 的坐标用心爱心专心解： （1）因为函数图像经过点（3，6）， B（ 1，0）所以有61233012122()()bcbcbc132因此，所求的二次函数解析式为yxx12322（2）yxxx1232121222()顶点坐标为（1， 2）由方程123202xx，解得xx1231，C（3，0）如图，作 AE、PF 垂直于 x 轴，垂足分别是E、F，那么 AE 6，ECEO OC336， AECE 即 ABC 是等腰直角三角形，ACE 45同理可得 PFC 是等腰直角三角形，PCF 45设点 D（a，0），那么DCOCOD3a PCD ACB ， DPC BAC ， DPC BAC DCBCPFAEa，即33126，解得a53D（530，）例 8. 已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线yaxbxc2与 y 轴交于点C （0， 4），与 x 轴交于 A、B 两点，点A 在点 B 的左侧，tan，且：BCOSABC14SBOC：41，求：此抛物线的解析式。

解： （1）当 A、B 两点在原点同侧时，如图1 图 1 用心爱心专心tanBCO14，OBOC14C（0，4）， OC4， OB1 B（ 1， 0）SSABBOABABCBOC：，：，即444A（ 5， 0）设二次函数解析式ya xx()()15，由于抛物线过点C 4545aa，yxx4515()()，即二次函数解析式yxx4524542（2）当 A、B 两点在原点异侧时，如图2 图 2 tan，BCOOBOC1414又 C（0， 4）， OC4，OB1， B（1，0）由SSABOBABCBOC：，：44即 AB 4， A（ 3， 0）设二次函数解析式为ya xx()()13，由于抛物线过点C 4343aa，yxx4313()()即二次函数解析式为yxx438342例 9. 已知一次函数yxyx12221，二次函数（1）根据表中给出的x 值，计算对应的函数值yy12，并填在表格中：用心爱心专心x 3 2 1 0 1 2 3 yx12yx221（2）观察第（ 1）问表中有关数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值yy12均成立3）试问：是否存在二次函数yaxbxc32，其图象经过点（5，2），且在实数范围内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值yyy132均成立，若存在，求出函数y3的解析式，若不存在，请说明理由。

解： （1）x 3 2 1 0 1 2 3 yx126 4 2 0 2 4 6 yx22110 5 2 1 2 5 10 （2）证明：yyxxxxx12222212110()()当自变量x 取任意实数时，yy12均成立3）由y3经过（ 5， 2），得2552abc当时，xyyyabc12123依题意，有222abcabc，由、可得baca425，yaxaxa32425()令wyyaxaxa13124225()()恒大于 0，则满足：aaa0310132()令wyya xaxa22321451()()恒大于 0，则：满足10310132aaa()综上，可得abc134313，解析式为yxx1343132例 10. 已知二次函数yxbxc122的图象经过点A（ 3，6），并与x 轴交于点B（ 1，0）和点 C，顶点为P （1）求这个二次函数的解析式（2）设 D 为线段 OC 上一点，满足DPC BAC ，求：点D 的坐标（3）在 x 轴上是否存在一点M，使以 M 为圆心的圆与AC、 PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由用心爱心专心解： （1）将 A（ 3，6）， B（ 1，0）代入yxbxc122得6923012132bcbcbc解得yxx12322（2）过 A 作 AEx 轴，垂足为E，设抛物线的对称轴交x 轴于 F，则 AEC 、 CFP 均为等腰直角三角形则 EAC FPC DPC BAC ， EAB FPD AEB PFD AEPFEBFD，易求AEEBPF622，FDOD2323153，D()530，（3）存在：过M 作 MH AC ，MGPC 垂足分别为H、G，设 AC 交 y 轴于 S，CP的延长线交y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是 SCT 的内切圆圆心MG MH ON，MCOM2，且 OMMC OC 23OMOM，得OM3 23，M ()3 230，在 x 轴的负半轴上，存在一点M，同理：OMOCM COMOCO M2得OM 3 23M ()3 230，即在 x 轴上存在满足条件的两个点。

模拟试题】一、填空题：用心爱心专心（1）抛物线yxx244的顶点坐标是_ （ 2 ） 抛 物 线yx4252()的 对 称 轴 是 _ ， 有 最 _ 值 是_ （3）有一个抛物线形桥拱，有最大高度为16m，跨度为 40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图1 所示），则此抛物线的解析式为_ 图 1 （4）二次函数yxaxb2的图象如图2 所示，则函数值y0时，对应x 的取值范围是 _ 图 2 （5）已知二次函数yxx223的图象与x 轴交于 A、B 两点，在 x 轴上方的抛物线上有一点C，且 ABC 的面积等于10，则 C 点的坐标为 _ （6）已知二次函数yaxbxc2的图象与x 轴交点的横坐标是2 和 6，图象与y轴交点到原点的距离是3，则这个二次函数是_ （7）把yxx1412配方成ya xhk()2的形式是 _ （8）抛物线yxmx214()与 x 轴只有一个交点，则m 为_ 二、选择题：（1）二次函数yaxbxc2的图象如图3 所示，则下列结论正确的是（）图 3 A. abc000，B. abc000，用心爱心专心C. abc000，D. abc000，（2）二次函数yaxbxc2的图象与一次函数yaxc，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（）图 4 。