高一级第一学期数学竞赛试题.doc

高一级数学竞赛试卷班级_________ 姓名__________全卷150分，考试时间为120分钟一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. ）1．已知集合M={x | x∈N且8－x∈N }， 则集合M的元素个数为 （ ）A．10 B．9 C．8 D．72．已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．三个数的大小顺序是（ ）A、 B、 C、 D、 4、若，则的值为（ ）A、 0 B、—1 C、 1 D、 以上均不对5.设，则 （ ） A． B． C． D．6．函数的图象是 （ ） A B C D7.函数 满足 ， 则这样的函数个数共有 （ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.若函数f(x)=lg(x2－ax－3)在(－∞,－1)上是减函数，则a的取值范围是 ( ) Ａ． a＞2 　 Ｂ． a＜2 Ｃ．a≥2 Ｄ． a≥-29.定义集合运算:.设,,则集合 的所有元素之和为 （ ） A．0 B．2 C．3 D．610.设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f()=0, f(log4x)＞0, 那么x的取值范围是 ( ) A.x＞2或＜x＜1 B.x＞2 C.＜x＜1 D.＜x＜211. 对任意实数规定取三个值中的最小值，则函数 （ ）A、有最大值2，最小值1， B、有最大值2，无最小值，C、有最大值1，无最小值， D、无最大值，无最小值。

2,)O1 2 3 4y1t(月)12．如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述① 第4个月时，剩留量就会低于；② 每月减少的有害物质量都相等；③ 若剩留量为所经过的时间分别是，则. 其中所有正确的叙述是 ( ) A．① ② ③ B．① ② C．① ③ D．② ③题号123456789101112答案第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分13.设函数 ， 则方程的解为______________14.函数有且只有一个正实数的零点，则实数m的取值范围为 .81635749215.将个正整数1，2，3，…，填入到个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方如右图就是一个3阶幻方定义为阶幻方对角线上数的和例如，那么= .16．定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝kx＋b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.现有如下命题：①对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g(x)＝2x为函数f(x)＝2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数.其中正确的是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（12分）若集合，且，求实数的值。

18．（12分）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱1） 试用x表示圆柱的高；（2） 当x为何值时，圆柱的侧面积最大19. （12分）已知函数f(x)=loga (ax2-x+)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a的取值范围.20、（12分） 已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；（2）若函数f（x）在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围. 21．（12分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元精确到1万元）22. （14分）已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式高一级数学竞赛试卷（答案）一、选择题题号123456789101112答案BCCBCACCDABC二、填空题 . 13．-2 14. m=0或m=1 15. 34 16. ①16.解析：对于①，若f(x)＝sinx，则g(x)＝B(B<－1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y＝tanx，y＝lgx就没有承托函数，∴命题①正确；对于②，∵当x＝时，g()＝3，f()＝2＝2＝，∴f(x)1/4 当N={2}时 ∆=0 x=2 a不存在 当N={-3}时 ∆=0 x=-3 a不存在当 N={-3,2}时 a=-6 综上a>1/4 或a=-618. （1）h=6-3x(0＜x＜6） （2）s= -6π+6π(0＜x＜6）19.题设条件等价于(1) 当a＞1时, ax2-x+＞1对x∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a＜1时, 0＜ax2-x+＜1对x∈[1, 2]恒成立.由(1)得a＞对x∈[1, 2]恒成立, 故得a＞. 由(2)得 对x∈[1, 2]恒成立, 故得＜a＜. 因此, a的取值范围是a＞或＜a＜20、（1）当 x<0时，－x>0，又f（x）为奇函数，∴，∴ f（x）＝x2＋2x， ∴m＝2 …………… 4分y＝f（x）的图象如右所示 ……………6分（2）由（1）知f（x）＝，…8分由图象可知，在[－1，1]上单调递增，要使在[－1，|a|－2]上单调递增，只需 ……………10分解之得 ……………12分 21、（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，由题设=，=，. 由图知，又 从而=，=， ……………6分（2）设A产品投入万元，则B产品投入10-万元，设企业的利润为y万元Y=+=，（）， 令 当，，此时=3.75 当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元。

……………12分22、（1）证明：令=1 则f(1)=2f(1) 得 f(1)=0 令=-1则f(1)=2f(-1) 得f(-1)=0 因为f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x) 故f(x)为偶函数(2)任取 4。