八年级数学第一章勾股定理 第二、三节北师大版知识精讲.doc

八年级数学第一章 勾股定理 第二、三节北师大版 【本讲教育信息】一. 教学内容：第一章：勾股定理第二节：能得到直角三角形吗第三节：蚂蚁怎样走最近二. 教学要求：1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用，注意勾股定理和逆定理的区别和联系，了解勾股数，培养学生分析问题、解决问题的能力并利用它们解决简单的实际问题2. 经历探索能得到直角三角形吗这一活动，从而得出勾股定理的逆定理的过程，通过定理的应用，体现由“数”到“形”的数形结合思想和转化思想三. 重点、难点：勾股定理的逆定理及其应用既是重点也是难点，解决的关键是正确理解勾股定理的逆定理，能将三角形三边的“数”的关系转化为直角三角形的“形”的特征四. 课堂教学［知识要点］1. 勾股定理的逆定理如图所示，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形此定理是直角三角形的判定定理，必须已知三角形的三边，且满足两短边的平方和等于最长边的平方，才可判断这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角注意：（1）不能机械地认为c所对的角就是直角2）是否等于，需要通过计算进一步验算，不能开始就写2. 勾股定理与逆定理的关系勾股定理是已知直角三角形，得到三边的关系，它是直角三角形的重要性质之一，而逆定理是由三角形三边的关系，判断一个三角形是否为直角三角形，这是直角三角形的判定，也是判断两直线垂直的方法之一，二者的条件和结论刚好相反，要仔细区别，切勿混淆。

3. 勾股定理的逆定理的延伸拓展如果三角形三边长a，b，c满足（c边最大），那么这个三角形是直角三角形，如果，那么这个三角形是钝角三角形，如果，那么这个三角形是锐角三角形4. 勾股数满足的三个正整数，称为勾股数对于任意两个整数m，n（m>n>0），和2这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组常见的勾股数组有：（1）3，4，5（2）6，8，10（3）8，15，17（4）7，24，25（5）5，12，13（6）9，12，15注意：（1）3，4，5既是勾股数，又是三个连续的整数，它们非常的特殊，不要认为凡是三个连续整数都是勾股数2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数3）上述几组常见的勾股数需牢记，平时做题时经常用到，它不仅在勾股定理及其逆定理中广泛应用，而且还可以帮助我们分析思路，找到解决问题的途径和方法5. 应用勾股定理解决实际问题（1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。

4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题5）解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题注意：运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活运用所学的知识，达到融会贯通的目的，其中利用勾股定理列方程也是常用方法之一典型例题】例1. 在△ABC中，，，，其中m，n是正整数，且，试判断△ABC是否为直角三角形分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边解：∵m，n是正整数，且，∴，∴又∵∴∴△ABC是直角三角形说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）计算与的值；（3）比较与是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形例2. 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积分析：由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，想到连接AC，则Rt△ABC的面积可求，且可求出AC的长，因此在△ACD中，三边长已知，欲求面积，想到它是不是直角三角形，因此可用勾股定理的逆定理进行判断。

解：连接AC，∵AB＝3，BC＝4，∠B＝90°∴，∴AC＝5，在△ACD中，由勾股定理得而∴∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形∴∴四边形ABCD的面积为例3. 如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C＇处，BC＇交AD与E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积分析：由于，所以只要求出的长即可，而在中，利用勾股定理列方程求解解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠3∵△BC＇D与△BCD关于直线BD对称∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EB＝ED设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x在中，∴，∴， ∴，∴例4. 有一柱形油桶，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需要多少米？分析：环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间，线段最短，建造直角三角形，再利用勾股定理解题解：如图，将圆柱体的侧面沿AB展开，得到长方形AA′B′B则AB＝A′B′＝5米，AA′＝BB′＝12米，∠A′＝90°因此沿AB′建梯子，梯子最短在Rt△AA′B′中∴（米）答：梯子最短需13米例5. 在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高？分析：如图所示，一只猴子从B→C→A共走了30米，另一只猴子从B→D→A也走了30米，且树垂直于地面，于是此问题可转化到直角三角形中，利用勾股定理解决。

解：设BD＝x，则CD＝BD+BC＝x+10∵BC+CA＝BD+DA＝30∴AD＝30－BD＝30－x在Rt△ADC中，∴解得x＝5，∴CD＝x+10＝15（m）答：这棵树高15米例6. 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2厘米，高为3厘米，在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再走对角线BF，乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长，你认为哪位同学的说法正确？你还有其他方法么？若有，请叙述出来并说明理由参考数据：）分析：要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求甲生和乙生的方案类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了。

解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFD展开成长方形AEFD，如图所示：则AE＝AB+BE＝4cm，EF＝3cm，连接AF在Rt△AEF中，∴AF＝5（cm），连接BF∵AF

B. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若则∠B＝90°D. 因为，所以3，4，5为边的三角形不是直角三角形2. 若一直角三角形的斜边比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 143. 已知四个三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5;（3） 三边长分别为7，24，25；（4）三边之比为5：12：13，其中直角三角形有（ ）个A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知△ABC的三边长分别为18，24，30，则最长边上的中线长为（ ）A. 2 B. 13 C. 14 D. 155. 若一直角三角形的两边长分别为12和5，设第三边长为x，则等于（ ）A. 169 B. 119 C. 225 D. 169或1196. 设P为等腰直角三角形ABC斜边AB或其延长线上一点，S＝那么（ ）A. B. C. D. 不确定7. 将直角三角形的三边长都扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 以上都有可能二. 填空题1. 以线段（），，（其中m>n）为直角三角形的斜边为（ ）2. 若三角形的三边长分别为45，53，28，则此三角形是（ ）3. 若直角三角形两直角边长的比是3：4，斜边长是20厘米，则斜边上的高是（ ）4. 如果三角形的三边a，b，c满足，则这个三角形是（ ）三角形，它的面积为（ ）。

5. 若等腰三角形ABC的周长为16，底边BC上的高为4，则＝（ ）6. 在Rt△ABC中，若斜边AB＝2，则＝（ ）7. 如图所示，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处相距河岸的距离AC，BD分别为500米和300米，且C，D两处的距离为600米，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走（ ）米三. 1. 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝4，AD，AE分别是BC边上的中线和高，求DE的长2. 如图，D是△ABC上的一点，若AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6求BC的长3. 如图，三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD＝3，BD＝5，求三角形ABC的周长4. 一楼房不幸在距地面24米的地方着火，。