3.3.1 二元一次不等式表示…1.doc

3.3.1　二元一次不等式表示的平面区域江苏省太湖高级中学 214125执教：翟洪亮（江苏省高中数学特级教师）教学目标：1.了解二元一次不等式的几何意义．2.会画出二元一次不等式表示的平面区域． 3.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．教学重点：确定二元一次不等式所表示的平面区域以及由给出的平面区域写出对应的二元一次不等式．教学难点：能用转化法和选点法确定二元一次不等式所表示的区域．教学方法：启发式教学法．教材分析：本节课是安排在一元二次不等式之后，二元一次不等式组与简单的线性规划问题的第一节课，从实例问题情景出发，结合图形让学生感受二元一次不等式的几何意义，然后提升到“选点法”判断二元一次不等式表示的平面区域，并上升到“口诀”的层面上，整个过程旨在加强学生数形结合思想.学生分析：江苏省太湖高级中学是江苏省四星级重点高中，学生的数学基础较好，思维、运算能力比较强，有助于本课教学的开展．教学过程：1.1创设问题情境，激发学习热情教师：首艘国产航母于4月26日正式下水后,受到了海内外媒体的巨大关注，这是自美国、俄罗斯、英国、法国、意大利和西班牙之后，第七个能自制航母的国家，这是令我们中国人感到骄傲的一件大事，这是国力强大的象征，这是新中国崛起的标志！我们今天的学生承担着民族复兴的重任，要为早日实现中国梦在而努力学习．现在请大家思考下面问题:在建造国产航母“001”时需要许多巨大的钢架，为了按期完工，每天至少需要40根高质量的钢柱，国内只有甲乙两个厂有能力生产这样的钢柱，甲钢厂和乙钢厂每间车间的日生产量分别是5根和8根，但是两个厂每天总共能投入生产的车间至多6间，那么两个钢厂各提供多少车间才能满足每天的需求呢？如果设甲乙两个钢厂各提供个车间才能满足每天的需求，应该满足什么条件？哪位同学来回答一下？学生： 应该满足．教师：为了解决这个问题我们首先来研究数对的范围问题，今天我们一起学习：二元一次不等式表示的平面区域．设计意图 通过生活实例，培养学生数学地看待问题习惯.同时，激发学生的学习热情，要树立为国家富强，民族振兴而努力读书. 1.2联想直线方程，类比区域表示教师：不等是以等为界限的，首先我们来研究二元一次等式表示的平面区域，而二元一次等式的几何意义是表示一条直线．一条直线把它所在平面分成几部分？学生：直线把它所在平面分成三部分：直线、直线的上方、直线的下方．教师：分得很细，在直线方程的五种形式中比较常用的两种形式是：斜截式和一般式．首先我们来研究斜截式，如直线，哪位同学能结合直线与方程之间的关系谈谈你对必修2中直线的方程与方程的直线的理解？ 学生：直线上任一点的坐标都是方程的解；反过来，以方程的解为坐标的点都在直线上，所以我们称直线是方程的直线，方程是直线的方程．教师：我们已经能用方程表示直线，那么对于直线上方的平面区域如何表示呢？学生：用不等式．教师：能给出理由吗？学生： 1.在的上方任取一点，过点作平行轴的直线交直线于点，则．因为，所以.所以直线上方任取一的点的坐标都适合不等式；2.反之，适合不等式的任意一对有序实数构成的点，令，则是在直线上，线段平行轴，且点是在点的上方，所以点是在直线上方的平面区域内． 所以直线上方的平面区域为不等式表示的平面区域，不等式是直线上方的平面区域的不等式．教师：与直线与方程的关系类似，直线的方程与方程的直线，同样也有平面区域的不等式与不等式的平面区域．如何表示直线下方的平面区域？学生：用不等式表示直线下方的平面区域，即直线下方的平面区域对应不等式． 教师：能给出理由吗？学生： 1.在的下方任取一点，过点作平行轴的直线交直线于点，则．因为，所以.所以直线下方任取一的点的坐标都适合不等式；2.反之，适合不等式的任意一对有序实数构成的点，令，则是在直线上，线段平行轴，且点是在点的下方，所以点是在直线下方的平面区域内． 所以直线下方的平面区域为不等式表示的平面区域．设计意图 不等是以等为界限的，通过类比，由二元一次等式的几何意义是表示一条直线，极其自然地类比到由二元一次不等式的几何意义——表示平面区域．1.3运用定义作图，激发学生灵感教师：哪位同学能画出不等式表示的平面区域？学生：因为是小于号，故先将直线画为虚线，再用斜线标出下方区域．教师：你是怎么想到的？学生：由上可知，不等式所表示的平面区域内的点的坐标都适合不等式，所以只要取一点即可判定直线哪一侧是不等式表示的平面区域，不妨取原点，因为原点的坐标适合不等式，而原点在直线的下方，所以直线下方的平面区域即为不等式表示的平面区域． 教师：这个方法好，选点定侧！任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；否则，直线的另一侧即为不等式所表示的平面区域，这种方法称为“选点法”．若原点不在直线上，我们常常通过原点坐标来判断，实现以点代面（半平面）的效果！现在谁能画出不等式表示的平面区域？ 学生：首先将直线画为实线．利用选点法，不妨取原点，因为原点的坐标不适合不等式，所以不等式表示的区域在直线上方的平面区域,含边界直线． 设计意图 由二元一次不等式与平面区域的相互关系，提升到“选点法”，通过选点定侧，实现以点代面（半平面）的效果．1.4探究一般情形，发现分布规律教师：通过上述探究，我们知道不等式表示直线上方的平面区域；不等式表示直线下方的平面区域．不等式表示直线上方的平面区域,含边界直线；不等式表示直线下方的平面区域．那么对于直线上方的平面区域对应的不等式是什么呢？直线下方的平面区域对应的不等式又是什么呢？学生：直线上方的平面区域对应的不等式是；直线下方的平面区域对应的不等式是．教师：不等式与斜率正负有关吗？能否总结出规律呢？学生：与斜率正负无关，可简记为口诀“大上小下”．教师：口诀必须顺口，不如改为“上大下小”，这样也好记！我们已经解决用不等式表示上方或下方的平面区域问题．设计意图 由“选点法”乘势而上，从用一点上升到无点“口诀”的高度上．1.5转化问题形式，完善分布规律教师：那么对于直线方程的一般式上方或下方的平面区域所对应的不等式又是怎样的呢？请大家探讨一下，各学习小组成员之间可以互相研究，然后推荐组内发言人．学生：直线方程之间可以相互转化，故有：当时，不等式可化为，而不等式表示直线上方的区域，所以当时，不等式，表示直线上方的区域；同样可得，当时，不等式，表示直线下方的区域．当时，若，易知不等式，表示直线右方的区域；不等式，表示直线左方的区域．当时，若，易知不等式，表示直线左方的区域；不等式，表示直线右方的区域．当时，不等式可化为，而不等式表示直线下方的区域，所以当时，不等式，表示直线下方的区域；同样当时，不等式，表示直线上方的区域．教师：化生为熟，通过转化使问题得到解决．若，不等式表示区域很直观；若，因为把的系数化为1，所以要除以，必须考虑值的正负．若，不等式就表示直线的上方的区域；不等式就表示直线的下方的区域，口诀“上大下小”仍然成立．若 ，恰好相反的口诀变为“上小下大”！设计意图 因为直线的形式之间可以相互转化，通过转化，提高学生分析问题和解决问题的能力，在运用推广“口诀”的同时，实现对“口诀”的完善．1.6加强口诀运用，提高解题效率教师：现在你能快速将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来？xyox=-3xyox=6图1图2xyo6x+5y =22图3xy = x o图4y哪位同学来回答一下？学生：1.；2.；3.；4.．教师：由平面区域能给出相应的不等式，反过来，也要求我们能根据所给的不等式，指出它在相应直线的哪一侧？现在请大家思考下列问题，哪位同学来回答一下？1．不等式表示直线的 平面区域．2．不等式表示直线的 平面区域．3．不等式表示直线的 平面区域．4．不等式表示直线的 平面区域．学生：利用口诀，显然有：1.上方；2.下方；3. 下方；4. 上方.教师：当然，我们也可以采用“选点法”来定侧！如在1中取点，也能得到是表示直线的上方平面区域．请大家思考：若点在直线的上方，求的取值范围.哪位同学能到黑板上给出解答？学生：因为点在直线的上方，所以，解得.教师：若点和点在直线的两侧，求的取值范围.哪位同学能到黑板上给出解答？学生：因为点和点在直线的两侧，所以，解得或.教师：若变为：已知和，若直线与线段有公共点，求的取值范围. 哪位同学能给出解答？学生：直线与线段有公共点，可分为两种情况：1.点和点在直线的两侧；2. 直线经过点或.所以，解得或.设计意图 通过练习，使用相关知识解决简单问题，达到强化所学新知的目的，提高教学效率．课堂小结：教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？判断二元一次不等式表示的平面区域学生：1.首选口诀：上大下小；特别 B<0时，上小下大；2.常用“选点法” ，通过选点定侧，实现以点代面（半平面）。

特别地，当边界不过原点时，常选原点；3.画直线区域时要分清直线是用虚线还是实线.设计意图 培养学生语言表达能力，加深学生对所学知识的认识，达到巩固所学新知的目的．1.教学实录1.1创设问题情境，激发学习热情教师：首艘国产航母于4月26日正式下水后,受到了海内外媒体的巨大关注，这是自美国、俄罗斯、英国、法国、意大利和西班牙之后，第七个能自制航母的国家，这是令我们中国人感到骄傲的一件大事，这是国力强大的象征，这是新中国崛起的标志！我们今天的学生承担着民族复兴的重任，要为早日实现中国梦在而努力学习．现在请大家思考下面问题:在建造国产航母“001”时需要许多巨大的钢架，为了按期完工，每天至少需要40根高质量的钢柱，国内只有甲乙两个厂有能力生产这样的钢柱，甲钢厂和乙钢厂每间车间的日生产量分别是5根和8根，但是两个厂每天总共能投入生产的车间至多6间，那么两个钢厂各提供多少车间才能满足每天的需求呢？如果设甲乙两个钢厂各提供个车间才能满足每天的需求，应该满足什么条件？哪位同学来回答一下？学生： 应该满足．教师：为了解决这个问题我们首先来研究数对的范围问题，今天我们一起学习：二元一次不等式表示的平面区域．设计意图 通过生活实例，培养学生数学地看待问题习惯.同时，激发学生的学习热情，要树立为国家富强，民族振兴而努力读书. 1.2联想直线方程，类比区域表示教师：不等是以等为界限的，首先我们来研究二元一次等式表示的平面区域，而二元一次等式的几何意义是表示一条直线．一条直线把它所在平面分成几部分？学生：直线把它所在平面分成三部分：直线、直线的上方、直线的下方．教师：分得很细，在直线方程的五种形式中比较常用的两种形式是：斜截式和一般式．首先我们来研究斜截式，如直线，哪位同学能结合直线与方程之间的关系谈谈你对必修2中直线的方程与方程的直线的理解？ 学生：直线上任一点的坐标都是方程的解；反过来，以方程的解为坐标的点都在直线上，所以我们称直线是方程的直线，方程是直线的方程．教师：我们已经能用方程表示直线，那么对于直线上方的平面区域如何表示呢？学生：用不等式．教师：能给出理由吗？学生： 1.在的上方任取一点，过点作平行轴的直线交直线于点，则．因为，所以.所以直线上方任取一的点的坐标都适合不等式；2.反之，适合不等式的任意一对有序实数构成的点，令，则是在直线上，线段平行轴，且点是在点的上方，所以点是在直线上方的平面区域内． 所以直线上方的平面区域为不等式表示的平面区域，不等式是直线上方的平。