南京一轮复习第课时圆的方程.doc

1第３课 圆的方程【课前自主探究】※考纲链接（1）了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等） ；（2）掌握圆的一般方程及标准方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；（3）理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．※ 教材回归◎基础重现：1． 圆的方程：圆心（a，b） ，半径为 r 的圆的标准方程：_________________________ ；圆的方程的一般形式是_________________________；其中圆心为 ，半径为 ．2．点与圆的位置关系：设圆 C∶ ，点 M( )到圆心的距离为 d，则有：22b)-(ya)-(xr0,yx____________点 M 在圆外；_______________点 M 在圆上；_______________点 M 在圆内． 3． 求圆的方程的方法：求圆的方程的基本方法是_____________________：首先_______________________，再根据条件确定_______________________，最后得出_______________________．（1）已知圆心和半径，求圆的方程，通常用_________________________；（2）已知圆经过三个点，求圆的方程，通常用_________________________．基础重现答案：1． ；22b)-(ya)-(xr22040;xyDEF．2． d＞r；d=r；d＜r ．3．待定系数法：设出圆的方程，),(待定系数的值，圆的方程． （1）标准式；（2）一般式．◎思维升华： 1．设圆 C1∶ 和圆 C2∶ ，若0112FyExDyx 022FyExDyx两圆相交，则过交点的圆的方程可表示为____ ___ ______．2．以 A(x1，y 2)、B(x 2，y 2)为直径的圆的方程：______ __ _____．2思维升华答案： 1． +λ（ ）=0(λ112FyExDyx 222FyExDyx为参数，圆系中不包括圆 C2，λ=-1 为两圆的公共弦所在直线方程 )．2．(x－x 1)(x－x 2)+(y－ y1)(y－y 2)=0．※ 基础自测1． （2009·广东高考题改编）以点（2， 1）为圆心 的圆的方程是 ． 25答案： 225()(1)xy．2． （2010·重庆高考题）圆心在 y轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为 ．答案： 22()xy 解析：设圆心坐标为 (0,)b，则由题意知 2(1)()1ob，解得 b，故圆的方程为 22()1xy．3．方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆，则 a 的取值范围是 ．答案：-2＜a＜ 解析： 得到-2＜a＜ ．304a324． 圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则 ab 的取值范围是 ．答案： 解析：圆心 在直线 2ax-by+2=0 上，有 则 的范41, 2,11b2a围是 ．,5． 过点 A（1，-1） ，B（-1，1） ，且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 ．答案：（x-1） 2+(y-1)2=4 解析：圆心为 AB 的垂直平分线与直线 x+y-2=0 的交点 ，且1,半径为 2，所以圆的方程是（x-1） 2+(y-1)2=4．【课堂师生共探】※ 经典例题○题型一 轨迹背景下的圆方程例 1 如图，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，O 1O2=4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、 PN（M、N 分别为切点） ，使得 试建立适当的坐标系，并求动点 P.PMN的轨迹方程．PMNO1 O2Oyx3分析：首先建立适当的坐标系，找到线段之间的关系，利用已知条件很容易找到动点满足圆的条件，动点的轨迹应该是圆．解：以 O1O2 的中点 O 为原点，O 1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则 O1（-2，0） ，O 2（2，0） ，由已知：ＰＭ＝ ，即 ＰＭ ２ ＝２ＰＮ，PN因为两圆的半径都为 1，所以有： ，设 P（x，y） ，则：)1(221（x+2） 2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即 3)6(yx综上所述，所求轨迹方程为： （或 ）032点评：假若开始建系不同，可能得到不同的结果，但是动点的轨迹仍是圆，只是解析式有所不同，但是运算难易可能有所不同，所以建立适当的坐标系会给解决问题带来不同的效果．变式训练：已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．则线段 AP 中点的轨迹方程_________________．解析：设 AP 中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x-2，2y)．∵P 点在圆 x2+y2=4 上，∴(2x-2) 2+(2y)2=4．故线段 AP 中点的轨迹方程为 (x-1)2+y2=1．○题型二 圆方程的选择例 2 已知 顶点的坐标为 ，求 的外接圆的方程．ABC)2,4(1,)0,(CBAAB分析：在解决圆的方程问题时，可以用“待定系数法” ，还可以用“几何法” ，就是利用圆的有关性质来寻求圆方程中的几个基本量，从而求出圆的方程．解：方法 1：设 的外接圆方程是 ．02FEyDxy由题意得 解得0240FED68F所以 的外接圆的方程为ABC082yx方法 2：根据圆的性质可知， 的外接圆的圆心，一定在三边垂直平分线交点处， ABC易知 AB 的垂直平分线的方程为 ， BC 的垂直平分线的方程为 1yx 93yx，联立两方程得 解得 所以圆的圆心 P（4，-3） ，半径 ， 即所求93yx345r圆的方程为 25)()4(2点评：在求圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆的方程形式，要注意圆的几何性质及数形结合思想．变式训练 1：（2010·天津高考题）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切．则圆 C 的方程为 ．解析：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即4，所以圆 C 的方程为 ．|103|2r 2(1)xy变式训练 2：平面直角坐标系 xOy 中，已知⊙M 经过点 F1（0，－c） ，F 2（0，c） ，A（c，0）三点，其中 c＞0． 求⊙M 的标准方程（用含 的式子表示） ．3解析：设⊙M 的方程为 ，则由题设，得02EyDxyx解得 ⊙M 的方程为 ，即220,3.cEFD23,0.cF 0322cxyx．2234)(cycx○题型三 以圆为背景的最值问题例 3 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0．（1）求 y-x 的最大值和最小值；（2）求 x2+y2的最大值和最小值．分析：方程 x2+y2-4x+1=0 表示圆心为 ，半径为 的圆，弄清所求代数式的几何0,3意义是解决这类问题的关键．解：（1）y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距，当直线 y=x+b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 ，解得 b=-2± ．所以 y-x 的最大值为-2+320b6，最小值为-2- ．66（2）x 2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 =2，所以2)0()2(x2+y2的最大值是（2+ ） 2=7+4 ，x 2+y2的最小值是（2- ） 2=7-4 ．3333点评：应重视图形在解题中的作用．变式训练：已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0．求 y-2x 的最大值和最小值．解析：当直线 与圆相切时得到最大和最小值为：b2 415,※高考新题零距离（2010·北京高考题）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 轴滚x动．设顶点 P（ ，y）的轨迹方程是 ，则 的最小正x()yfx()f周期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与 轴所()fxx5围区域的面积为 ．答案： 4， 1 解析：从某一个顶点（比如 A）落在 x 轴上的时候开始计算，到下一次 A 点落在 x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 1，因此该函数的周期为 4．下面考察 P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P 点从 x 轴上开始运动的时候，首先是围绕 A 点运动14个圆，该圆半径为 1，然后以 B 点为中心，滚动到 C 点落地，其间是以 BP 为半径，旋转 90°，然后以 C 为圆心，再旋转 90°，这时候以 CP 为半径，因此最终构成图象如下：P A B C PP P因此不难算出这块的面积为 1．※典型错误警示1．忽视二元二次方程表示圆的条件而造成解题错误．例如：已知圆的方程为 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0，一定点为 A（1，2） ，要使过 A 点作圆的切线有两条，求 a 的取值范围．错解：将圆的方程配方得：( x + )2 + ( y + 1 )2 = ． ∵其圆心坐标为 C（－a432，－1） ，半径 r ＝ ．当点 A 在圆外时，过点 A 可作圆的两条切线，则 ＞ 2a432 Ar ．即 ＞ ．即 a2 + a + 9 ＞ 0，解得 a∈R ．22)1()(2剖析：本题的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 ＞r ，即 a2 + a + 9 ＞0，却忽视了 a 的另一制约条件 4 – 3 a2 ＞0．事实AC上，由 a2 + a + 9 ＞0 及 4 – 3 a2 ＞0 可得 a 的取值范围是（ ） ．,32．不能抓住圆的本质属性进行等价转化而导致解题错误．例如：当实数 为何值时，圆 与抛物线 有两个公共点．12xyx xy216错解：将圆 与抛物线 联立，消去 得：012axyxy21y因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得).()12(ax，解之得.012a.817a正解：当方程①有一正根、一负根时，得 ，得 ；当方程①有两个.012a1a相等正根时，得 ，得 ．因此， 或 ．.012a178a87◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径．请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：※学以致用第 3 课时圆的方程【基础级】1． （2010· 山东高考题改编）若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x-3y=0 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ．答案：(x-2) 2+(y-1)2=1 解析：由题意的：圆心为 ，所以圆的标准方程为：(x-2) 2+(y-,21)2=1．2．。