È 3 5 n 1 2 22022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（1） 一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）1．（5 分）已知集合 A ={x | 3x -1<1} ， B ={x | 2 x -x20}，则 A ( B ) =(R)A． {x | 0 0) 上三点 A( x1， y )1， B ( x2， y )2， C ( x3， y )3到其焦点的距离之和为 8，且 x +x +x =6 ，则 p =(1 2 3)2 4A． B．1 C． D． 3 383a +a4．（5 分） {a }为等比数列，若 a ， a ， a 成等差数列，则 3 5a +a1 3=( )A．1 B．2 C．4 D．85．（5 分）已知直线 y =kx 与圆 C : ( x -2) +y =1 相切，则实数 k 的值是 ( )A． ±2B． ± 3C． ±1D． ±336．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，那么该三棱锥的 体积为 ( )A．2 B．3 C．4 D．67．（5 分）若函数 f ( x ) =sin x +2cos( x +j)sin j(0 0, b >0) 的左、右焦点，过点 F 的直线 l a 2 b 2与双曲线的左、右两支分别交于 A 、 B 两点，若 DABF 是等边三角形，则该双曲线的离心率2为 ( )A． 2B． 3C． 5D． 711．（5 分）某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、 乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功；乙说：甲和丁均未竞选上；丙说：丁竞选成功；丁说：丙竞选成功．若这四人中有且只有 2 人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是 ( )A．甲B．乙C．丙D．丁12．（5 分）已知三棱柱 ABC -A B C 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱1 1 1柱的体积为 3 ， AB =2 ， AC =1 ， ÐBAC =60°，则此球的表面积等于 ( )A． 8pB． 9pC． 10pD． 11p二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13．（5 分）已知向量 a =( m,3) ， b =(1,-2) ，且 ( a +b ) ^b ，则 m =第2页（共20页）．ï 14．（5 分）若二项式 ( ax2+1x)5的展开式中常数项为 10，则常数项的二项式系数为 ，展开式的所有有理项中最大的系数为 ．ìïx 0ï x +4 y +515．（5 分）已知实数 x ， y 满足 íy 0 ，则 的取值范围是 ．2 x +2x yï + 1î3 416．（5分）设等差数列{a }满足 a =3 ，S =24 ，b = n 1 4 n1a an n +1，则数列{b }的前 n 项和为 ． n三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）17 ．（12 分）在 DABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a sin A sin B+ =2cos C ．a b， b ， c，且 c =2 2 ，（1）求 sin C 的值；（2）若 DABC 的面积为 2 ，求 a +b 的值．18．（12 分）辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的 100 名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于 100 分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100 ， 110) ， [110 ， 120) ， [120 ， 130) ， [130 ， 140) ， [140 ， 150] ．这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 x与数学成绩相应分数段的人数 y 之比如下表所示：分组区间x : y[100 ， 110)1: 2[110 ， 120)2:1[120 ， 130)3: 4[130 ， 140)1:1（1）估计这 100 名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）从数学成绩在 [130 ， 150] 的学生中随机选取 2 人，该 2 人中数学成绩在 [140 ， 150] 的 人数为 X ，求 X 的数学期望 E ( X ) ．第3页（共20页）19．（12 分）已知如图①，在菱形 ABCD 中，ÐA =60°且 AB =2 ，E 为 AD 的中点，将 DABE沿 BE 折起使 AD = 2 ，得到如图②所示的四棱锥 A -BCDE ．（1）求证：平面 ABE ^平面 ABC ；（2）若 P 为 AC 的中点，求二面角 P -BD -A 的余弦值．20．（12分）已知直线l : x =my +1 过椭圆 C :x 2 y 2+a 2 3=1 的右焦点 F ，且直线l交椭圆 C 于 A ，B 两点，点 A ， F ， B 在直线 l¢:x =4 上的射影依次为点 D ， K ， E ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l 交 y 轴于点 M ，且 MA =lAF , MB =lBF ，当 m 变化时，探究 l +l的值是1 2 1 2否为定值？若是，求出 l +l的值；否则，说明理由；1 2（3）连接 AE ， BD ，试探究当 m 变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于顶点？若是，请求出 定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．21．（12 分）已知函数 f ( x ) =ex-ax ( a ÎR)(e =2.71828 ×××是自然对数的底数）．（1）求 f ( x ) 的单调区间；（2）求函数 f ( x ) 的零点的个数．四．解答题（共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分）22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为ìíîx =2 +2cos y =2sin aa(a 为参数）．以第4页（共20页）坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x p．rsin(a+ ) =2 24轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为（1）求曲线 C 和直线 l的直角坐标方程；（2）若点 P 为直线 l上一动点，直线 l与曲线 C 相交于 A ， B 两点，且 | PA | ×|PB |=16 ，求点 P 的直角坐标．五．解答题（共 1 小题）23．已知函数 f ( x) =|x +1| +| x -2 a | ． （1）若 a =1 ，解不等式 f ( x ) <4 ；（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x，使得 m 2 -2m +4 = f ( x ) ，求实数 a的取值范围．第5页（共20页）È x -12 î 2 2 3 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）1．（5 分）已知集合 A ={x | 3 <1} ， B ={x | 2x -x 0}，则 A ( B ) =(R)A． {x | 0
