[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟32.docx

[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟32[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟32专升本高等数学(一)分类模拟32一、选择题问题:1. 平面的位置关系是______A.平行 　B.相交且垂直C.重合D.相交但不重合，不垂直答案:B问题:2. 设有直线，则该直线必定______A.过原点且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴C.不过原点，但垂直于x轴D.不过原点，且不平行于x轴答案:A问题:3. 设平面π过点(1，0，-1)且与平面4x-y+2z-8=0平行，则平面π的方程是______A.4x+y+2z-2=0B.4x-y-2z-2=0C.4x-y+2z-2=0D.4x-y-2z+2=0答案:C问题:4. 平面π：x+2y-z+3=0与空间直线l：的位置关系是______A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上C.既不平行也不垂直D.直线在平面上答案:D问题:5. 过点M0(1，-1，2)且垂直于直线l：的平面方程是______A.2x+3y+z-7=0B.2x+3y+z+1=0C.2x+3y+z+7=0D.2x+3y+z-1=0答案:D问题:6. 在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示______A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面答案:A问题:7. 方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是______A.球面B.旋转抛物面C.圆锥面D.圆柱面答案:C问题:8. 方程z=x2+y2表示的二次曲面是______A.椭球面B.柱面C.圆锥面D.抛物面答案:D二、填空题列出下列平面方程的一般形式．1. 过原点的平面方程______．答案:Ax+By+Cz=02. 过y轴的平面方程______．答案:Ax+Cz=03. 平行于y轴的平面方程______．答案:Ax+Cz+D=04. 平行于O-yz面的平面方程______．答案:Cx+D=05. 表示______．答案:z轴6. 表示______．答案:平行于z轴的直线三、解答题问题:1. 求通过点M(1，1，1)且法向量为{4，2，1}的平面方程．答案:解 由平面的点法式方程有 4(x-1)+2(y-1)+z-1=0， 即 4x+2y+z-7=0． 问题:2. 求过三点A(0，0，0)，B(-2，1，3)和C(1，2，4)的平面方程．答案:解1 设所求平面的法向量为n，由，得到，而， 取n={-2，11，-5}，由平面的点法式方程，得 -2(x-0)+11(y-0)-5(2-0)=0． 即 2x-11y+5z=0． 解2 因平面方程过原点，由一般式方程知道D=0，故设 Ax+By+Cz=0(A，B，C不全为零) 为所求平面方程．又平面过B，C点，于是 代入所求方程整理并消去C得所求平面方程为 2x-11y+5z=0． 在本题中，A，B，C三个参数有两个是独立的，可解出其中两个参数表示为第三个参数的关系，除将其代入所求平面方程消去第三个参数外，也可将第三个参数取适当值，如取C=5即可． 问题:3. 求过两点A(1，1，1)和B(-1，1，0)且与平面x+y-z=0垂直的平面．答案:解 设所求平面方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，A，B，C不全为零． 因平面过A点，故 A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0． 又平面过B点，则 A(-1-1)+B(1-1)+C(0-1)=-2A-C=0． 于是 C=-2A． 又所求平面垂直于平面x+y-z=0，故{A，B，C}⊥(1，1，-1}，即 A+B-C=0． 在C=-2A中，取A=1，得C=-2，代入上式得B=-3，所求平面方程为 (x-1)-3(y-1)-2(z-1)=0． 整理得 x-3y-2z+4=0． 问题:4. 求过点M(4，-3，-2)且垂直于两平面x+2y-z=0和2x-3y+4z-5=0的平面方程．答案:解 设所求平面的法向量为n，因为两平面的法向量分别为n1={1，2，-1}，n2={2，-3，4}，n∥n1n2， 取n={5，-6，-7}，又平面过点M(4，-3，-2)，由点法式得 5(x-4)-6(y+3)-7(z+2)=0， 整理得 5x-6y-7z-52=0． 问题:5. 确定两平面2x+3y+4z+4=0与2x-3y+4z-4=0的位置关系．答案:解 因为两平面的法向量分别是n1={2，3，4}和n2={2，-3，4}显然，n1与n2不平行，则两平面不平行也不重合；又n1n2=22+3(-3)+44=11≠0，故两平面不垂直，应为相交但不重合．求下列方程中的系数a和b：6. 两平面3x+by+3z-5=0与ax-6y-z+2=0平行；答案:解 两平面的法向量分别是n1={3，b，3}和n2=(a，-6，-1)，由于两平面平行，故n1∥n2等价于n1=λn2(A是常数)．于是 由后一等式，得λ=-3，代入其余等式，得a=-1，b=18． 7. 两平面3x+4y+3z-3=0与ax-6y-z+2=0垂直．答案:解 两垂直的平面的法向量分别是n1={3，4，3}，n2={a，-6，-1}，由于，n1⊥n2，故，n1n2=3a-24-3=0，得a=9．问题:8. 若平面π过点M(2，-1，5)且与直线l：垂直，求π的方程．答案:解 由于l⊥π，π的法向量可取n={3，2，-1}，又π过M点，由点法式得平面方程为 3(x-2)+2(y+1)-(z-5)=0， 整理得 3x+2y-z+1=0． 问题:9. 求过点A(1，2，1)和B(2，4，3)的直线方程．答案:解 所求直线的方向向量，由直线的点向式方程得 注意 过两定点(x1，y1，z1)和(x2，y2，z2)的两点式方程为 问题:10. 将化为标准式方程．答案:解 设所求直线的方向矢量是s，由两平面的法向量分别是n1={1，-1，-1)和，n2={2，-3，6}，s∥n1∥n2， 取s={9，8，1}，在l上任取一点，令z=0，得方程组 得点(4，5，0)．所求标准式方程为 问题:11. 确定直l1：和的位置关系．答案:解 l1的方向向量s1={3，-2，1}， l2的方向向量，由于-2s1=s2，故l1∥l2． 问题:12. 求直线l：与平面π：x-y-2=0的位置关系．答案:解 将l化为参数方程代入平面π，得 3+2t+1-t-2=0t=-2， 故x=-1，y=-3，z=4，即直线l与平面π相交． 问题:13. 求过点M(1，2，3)且与直线x=2+3t，y=2t，z=-1+t垂直的平面方程．答案:解 取直线的方向向量s={3，2，1}作为平面的法向量，由点法式即得平面方程为 3(x-1)+2(y-2)+z-3=0． 整理得 3x+2y+z-10=0． 问题:14. 求直线l：与平面π：x+2y+2z-8=0的交点和夹角．答案:解 将l化为参数式代入π的方程得 -3+3t-2(2+2t)+2(-1+t)-8=0． 解出t=17，从而交点坐标为x=-3+317=48，y=-2-217=-36，z=-1+17=16，即l与π的交点为(48，-36，16)． l的方向向量，π的法向量n={1，2，2}，设φ为l与π的夹角，则 故 问题:15. 求球面x2+y2+z2+2x-8y+6z+1=0的球心和半径．答案:解 因x2+y2+z2+2x-8y+6z+1=(x+1)2+(y-4)2+(z+3)2-1-16-9+1=0，故 (x+1)2+(y-4)2+(x+3)2=52 球心坐标(-1，4，-3)，半径为5． 问题:16. 一球面过点A(0，0，0)，B(1，-1，1)，C(1，2，-1)和D(2，3，0)，求球面方程．答案:解 设球面方程为 x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 因B，C，D，A点的坐标满足上述方程，代入得 所求球面方程为 2x2+2y2+2z2-7x-4y-3z=0 也可化为标准形式 若设所求球面方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2，也可求出所求球面方程，略． 问题:17. 指出下列方程在空间直角坐标系下所表示的曲面． (1) (2)4x2+9z2=36； (3)4x2+9y2+16z2=36； (4)4x2-9z2=36； (5)x2+y2-2z=0； (6)z2=x2+y2； (7)2x2+y2+z2=1； (8)z=1-y2． 答案:解 (1)母线平行于y轴，准线为的圆柱面． 缺一变数的方程一般都表示一柱面(x2+y2=0表示直线)．反之不一定成立． (2)，(4)，(8)均为柱面：(2)是椭圆柱面，(4)是双曲柱面，(8)是抛物柱面． (3)，(7)是椭球面． (5)可看作曲线绕z轴旋转一周而成的旋转抛物面，也可看作曲线绕x轴旋转一周而成． (6)可看作直线或绕z轴旋转而成的锥面． 10 / 10。