2023年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案.doc

2023各省数学竞赛汇集2023高中数学联赛江苏赛区预赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为__18___.2、在中，已知则___4____.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为________.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_______.6、已知是正实数，的取值范围是________.7、在四周体中，,,该四周体的体积为____________.8、已知等差数列和等比数列满足：则______.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角相应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分一、填空题（本题满分64分，每小题8分直接将答案写在横线上 1．已知集合N，且N，则 1 ．2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则．3．函数的值域为．4．已知，，则．5．已知数列满足：为正整数，假如，则 5 ．6．在△中，角的对边长满足，且，则．7．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．8．设是方程的三个根，则的值为 －5 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．解 在已知等式两边同时除以，得，所以 ． ------------------------------------------4分令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以. ------------------------------------------8分所以,即 . ------------------------------------------12分于是，当时, ，因此, ------------------------------------------16分10．已知正实数满足，且，求的最小值．解 令，，则．----------------------------------------5分令 ，则 ，且．------------------------------10分于是． ------------------------------15分由于函数在上单调递减，所以．因此，的最小值为． ------------------------------------------20分11．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围．解 ．由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增. ------------------------------------------5分（1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为．在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或．结合得． ------------------------------------------10分（2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得．易知，所以不符合． ------------------------------------------15分综上可知：的取值范围为． ------------------------------------------20分2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分一、填空题（本题满分64分，每小题8分直接将答案写在横线上1．函数的值域为________________．2．已知，，则_______________．3．已知数列满足：为正整数，假如，则 ．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 ．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______________．6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为_______________．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为_______________．8．设表达不超过的最大整数，则 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．10．已知正实数满足，且，求的取值范围．11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分一、填空题（本题满分64分，每小题8分直接将答案写在横线上 1．函数的值域为．2．已知，，则．3．已知数列满足：为正整数，假如，则 5 ．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 185 ．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为．8．设表达不超过的最大整数，则 2023 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．解 在已知等式两边同时除以，得，所以 ． ------------------------------------------4分令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以. ------------------------------------------8分所以,即 . ------------------------------------------12分于是，当时, ，因此, ------------------------------------------16分10．已知正实数满足，且，求的取值范围．解 令，，则．----------------------------------------5分令 ，则 ，且．------------------------------10分于是． ------------------------------15分由于函数在上单调递减，所以．又，所以． --------------------------------------20分11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．解 所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而．则．所在直线的方程为，其中，同理可得．------------------------------------------5分（1）当时，，，，，．又，故，于是△的面积，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为. ------------------------------------------10分（2），所在直线的方程为，即． ------------------------------------------15分又，即，代入上式，得，即 ．当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点． ------------------------------------------20分2023年上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数满足: ,则的最小也许值是 .3.若，,，则 .4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是 .5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则 .6．方程的非负整数解 .7．一个口袋里有5个大小同样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 .二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．求的表达式，并写出x的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值．11．（本题满分16分）正实数满足，求证：（1）；（2）．12．（本题满分16分）给定整数，记为集合。