山东大学材料力学学习指导与习题解答第2部分 杆件的内力、截面法.doc

第2部分 杆件的内力、截面法2.1预备知识一、基本概念1、 轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩2、 轴力和轴力图轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号FN表示当FN的方向与截面外向法线方向一致时，规定为正，反之为负求轴力时仍然采用截面法 求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力设正法在以后求其他内力时还要到 为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”作法是：以杆的左端为坐标原点，取χ轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方3、 横截面上的应力根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负4、 斜截面上的应力与横截面成角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力的关系为：角的符号规则：杆轴线x轴逆时针转到截面的外法线时，为正值；反之为负。

切应力的符号规则：截面外法线顺时针转发900后，其方向和切应力相同时，该切应力为正值；反之为负值 当=00时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值当=±450时，切应力达到极值5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律（1） 等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，变形后杆长由l变为l+l，则杆的轴向伸长为用内力表示为上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度用应力与应变表示的虎克定律为 （2） 在弹性范围内，杆件的横向应变ε·和轴向应变ε有如下的关系； 式中的μ称为泊松（Poisson）比（横向变形系数）6、材料在拉伸和压缩时的力学性质 6.1 低碳钢在拉伸时的力学性质：（1）低碳钢应力-应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段2）低碳钢在拉伸时的三个现象：屈服（或流动）现象，颈缩现象和冷作硬化现象3）低碳钢在拉伸时的特点（图2—1）： a.比例极限σp：应力应变成比例的最大应力 b.弹性极限σe：材料只产生弹性变形的最大应力。

c.屈服极限σs：屈服阶段相应的应力 d.强度极限σb：材料能承受的最大应力 （4）低碳钢在拉伸时的两个塑性指标：延伸率δδ= 100% 工程上通常将δ5%的材料称为塑性材料，将δ5％的材料称为脆性材料 断面收缩率=100%6.2 工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以02表示，称为名义屈服极限6.3 灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低6.4 材料在压缩时的力学性质：（1）低碳钢压缩时弹性模量E和屈服极限σS与拉伸时相同，不存在抗压强度极限2）灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料6.5 破坏应力：塑性材料以屈服极限 σS（或σ0.2）为其破坏应力；脆性材料以强度极限σb为其破坏应力7、强度条件和安全系数 材料丧失工作能力时的应力，称为危险应力，设以σ0表示对于塑性材料，对于脆性材料，为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力（称为工作应力）的最大值应低于危险应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如（1）荷载值的确定是近似的；（2）计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；（3）实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；（4）公式和理论都是在一定的假设上建立起来的，所以有一定的近似性；（5）结构在使用过程中偶而会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标准荷载。

所以，为了安全起见，应把危险应力打一折扣，即除以一个大于1的系数，以n表示，称为安全因数，所得结果称为许应力，即 (2—14）对于塑性材料，应为 （2—15）对于脆性材料，应为 （2—16）式中ns和nbc分别为塑性材料和脆性材料的安全因数8、简单拉压超静定问题 超静定结构的特点是结构存在多余约束，未知力的数目比能列的平衡方程数目要多，仅仅根据平衡条件不能求出全部未知力，必须根据变形和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称之超静定问题多余约束数目，称之为超静定次数多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求又是必须的，从这层意义上讲，不是多余的 求解超静定问题的步骤： (1) 根据约束性质，正确分析约束力，确定超静定次数 (2) 列出全部独立的平衡方程 (3) 解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关系，列出变形协调方程 (4) 将物理关系式代入变形协调方程，得到充方程，将其与平衡方程联立，求出全部未知力。

拉压超静定问题大致有三类： a. 桁架系统 b. 装配应力 c. 温度应力二、重点与难点1、拉压杆的强度条件和三种强度向题2、低碳拉伸实验和材料力学参数的意义及作用3、超静定问题的求解 (1) 解超静定问题的关键是列出正确的变形几何条件 (2) 在列出变形几何条件时，注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形同时，假设的内力符号应和变形一致2.2典型题解一、计算题1、 变截面杆受力如图，P=20kNA1=400mm2，A2=300mm2，A3=200mm2材料的E=200GPa试求：(1)绘出杆的轴力图；(2) 计算杆内各段横截面上的正应力；(3)计算A端的位移 30kN10kN300mm400mm400mm50kN解：(1)杆的轴力图如图所示，各段的轴力FN10kN40kN10kN，，(2) 各段横截面上的正应力为（3）A端的位移为二、计算题图示三角托架，AC为刚性梁，BD为斜撑杆，问斜撑杆与梁之间夹角应为多少时斜撑杆重量为最轻？ABCDFLθ解：BD斜杆受压力为FBD，由平衡方程得：为了满足强度条件，BD杆的横截面面积A应为BD杆的体积应为显然，当时，V最小，亦即重量最轻。

三、计算题图所示拉杆由两段胶合而成，胶合面为斜截面m-m其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力，许用切应力，拉杆的横截面面积试求最大拉力的数值解：拉杆的横截面的应力斜截面正应力强度条件：拉力F应满足斜截面切应力强度条件：拉力F也应满足所以最大拉力四、计算题 图示为埋入土中深度为l的一根等截面桩，在顶部承受载荷F选荷载完全由沿着桩周摩擦力fs所平衡，fs按线性分布，如图所示试确定桩的总压缩量，以F，L，E，A表示dyLfsyf2yyf2=kydydyFO解：(1) 求常数k桩周微段dy上的摩擦力 整条桩的摩擦力为 由平衡条件可知 即 (2) 确定桩的总压缩量由图可知，桩任意截面上的轴力为 其中，微段dy的压缩量为 所以桩的总压缩量为 讨论 应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时，在L长度内的轴力FN和截面积A都应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。

在解本题中，就应用了这种方法另外，由于杆上的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出五、图示一结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2试求杆EC和FD的内力ABCDFaaC`~`D`aFN1FN2FAyFAxFABh解：结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析1)静力方面 取隔离体如图，设两杆的轴力分别为FN1和FN2欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即 (1)(2) 几何方面 刚性杆AB在力F作用下，将绕A点顺时针转动，由此，杆EC和FD产生伸长由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到C`和D`点设杆EC的伸长为CC`=Δ1，FD的伸长为DD`=Δ2，由图可知，它们有几何关系： (2)这就是变形谐调方程或变形条件3)物理方程 根据胡克定律，有 (3)这是物理方程。

将式(3)代入式(2)，得 (4)将方程(4)和方程(1)联立求解，即得 结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例2.3 练习题 一、概念题1、选择题 (1)现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是( )A 1杆为钢，2杆为铸铁 B 1杆为铸铁，2杆为钢C 2杆均为钢 D 2杆均为铸铁AB1C2(2)桁架受力和选材分别如图A、B、C、D，从材料力学观点看，图( )较为合理钢铸铁P（A）钢铸铁P（B）钢铸铁P(C)钢铸铁P(D)(3)轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是( )A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布PP1122(4)图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( )A 平动B 转动C 不动D 平动加转动F(5)有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图所示，曲线( )材料的弹性模量E大，曲线( )材料的强度高，曲线( )材料的塑性好。

σεOABC(6) 材料经过冷作硬化后，其( )A 弹。