高等数学第四章定积分及其应用.docx
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第四章定积分及其应用一、学习要点了解定积分的概念、几何意义及性质.了解原函数存在定理，能够利用该定理求解变上限定积分的导数.熟练掌握定积分的常用方法：牛顿一莱布尼兹公式、换元积分法、分 部积分法.掌握在直角坐标系下用定积分计算平面图形围成图形的面积的方法.会计算绕坐标轴旋转生成的旋转体的体积，了解极坐标系中面积的求 法.了解无穷积分收敛的概念，能够判断和计算简单的无穷积分.二、相关知识总结1 .定积分定义：定积分是一个数且与积分变量字母无关.2 .定积分的几何意义是：介于直线和x = 〃之间，x轴之上、下相应的 曲边梯形的面积的代数和.3 .定积分的性质：(1) | %&2g(x)]dx =&J+ g(x)dx ；(2)j /(.v)dx = 一J /a)(h, J, /(x)dA = 0 ;(3)j /(A)d.v = j J(x)dA + J /CM ;(4)若J")2g(x),则 J：/(x)dx2J：g(x)心；(5)积分中值定理：设/(x)在I向上连续，则在I内至少存一点 4 有J：/(x)(h =/4)S — a), j eg 可；(6)估值定理：若"X)在也力]上可积,且则有不等式〃K0 -。
) W j /(x)dx W M(b-a) •-2-/574 .若函数/（X）在口力］上连续，则有蔡⑺也= /（x）.5 .重要补充：（1）『dx = 〃-a.〃 fo当f(x)是奇函数⑵"一 2j：/(x)dx曲(x)是偶函数，6 .变上限定积分(原函数存在定理)也是向上的一个可导函 数，自变量x,且“(X)= /(x).7 .牛顿-莱布尼兹公式：若厂'(%) =/(X),则j"{x)dx = F()-6伍)(厂(x)必 是初等函数，此公式成立).8 .定积分与不定积分的本质联系：A J /(x)dv = /(x)9= /(a)・9 .定积分的换元积分法:J“ /(x)dr = J：/(次，))d我/)a =帆)0(a) = a 也力=b z g[«,/7)10 .注意：定积分换元法中每进行一次变量替换，同时要将上、下限作相应的改变，而不要将新变量称成旧积分变量.11 .定积分的分部积分法：J u(x)dv(x) = "(x)v(x) I： 一『v(A)ck/(x).注意：此公式与不定积分的分部公式相似，只是每项带有积分限.12 .对于面积的应用，选择合适的积分变量，可以简化计算.(1)在直角坐标系中的面积(用N (或V)作积分变量).(2)在极坐标系下的面积：曲线方程p = p(8)求由p = p(e)及e = a、e=B所围成的曲边扇形面积4 = _L「％(e)de.2 J 413.对于旋转体体积的应用：(1)求由曲线广/⑴及直线x =。
' = /心轴所围成的曲边梯形绕轴旋转的体积：v= f ny2dx = n[ [/(a)]2cLv. J aJ a(2 )若曲线是x = 0x)、y«c.d],曲线绕y轴旋转的体积：df'(x) <0 , /"")>0.令5]=[/")八,面的一段下降的凹弧，，是曲边梯形A8C的面积，S、是梯形A8CD的面积, 名是矩形ABCE的面积，显然有邑v $ < S3.2 .利用定积分定义计算［丁公・图4一1解由于被积函数在积分区间上连续，因此将积分区间[0,1]〃等分，并取子区间[0」]的右端点作为介点A=二 从而有 n nn£।LJ" r r 1 西1一(6)〃] r 1 姮(1-e)\ e ax = lim —2etl= hm：= lim：—Jn—B fl“f x 〃一”too Ji一"\-en\-eni।1 711—姮 1_涓 下? 1由于 lim 〃(1 一 e") = lim= lim= lim - = lim(—e*) = -128〃廿 1/n i Mx «-1/厂J30所以 J，2x = 3 = e —1.3.利用定积分的性质说明下列积分值的大小：(1) j ： xdx 与 fln( 1 + x)dx • (2) J； exdx 与 J： (1 + x)dx .解(1)由于当x>0时，x>ln(l + x),故(xdx 比 J]n(l +、大.(2)由于当 x>0 时，x>ln(l+x),故有 e、>l + x,因此比 £(1+ x)公大.4 .设/'0)在[0,可上连续，且"0) = 0,证明：1其中"=max\ffM\.Ma2证明由泰勒中值定理知，当04x4。
时,/(x) = /(0) + /^)x=W)(0 < 彳 v x ),从而 /(a) < Mx,于是 J： fWdx < JJ /'(X)\dx
——rFlF解原式=/⑺力—J；力(，)c〃 = 2x£l .9 . /(x)=r(r-r2)sin2nrJr,ne/V,在［0,«o)上最大值不超过不一，一L 7(2〃+ 2)(2〃+ 3)证明由于r(x) = (x — x2)sin2"x(xZO),当Ovx
」)时，有r'(幻=一2/(x) —M"(x) V0,所以奴x)在(0,1)内单调递减，故命题得证.H.求极限!如2'(1+产”-'力.解因为「(1 + 产)+ 产)J，〃 的n0/一r J；(l + C""_1 (1 + /)/」所以原式一］im,lim；•18x/18(1 + 2/)/ 212 .设/⑴在［0』上可微，且满足条件加)=2斤刈(幻公，试证：存在《e(0,l) 使/(/ + “4)=0.2证明令/⑴=必)则尸(X)在［0,1］上可微，又由/⑴=及积分中值定理可知：三力e［0,；］使/⑴= 77/(77),即尸7) = 21),于是爪幻在㈤上满足 罗尔中值定理条件，故送e(77,1)u(0,1)使得/4)=/4)+打纭)=0.13 . /W在［0』上非增且连续，证明对任意ae(0,l)有［7(x)4Cj/(x)dx.证明记/(4)= Jj：/(x)公一(t/e(0,l)),则,妙伍)一 [：/(x)dx f 3) - f(小尸⑷=h= 1<0,(0<^< a)故尸(4在(0,1］上单调减少，从而当at(0,l)时，有尸①)之尸⑴，故命题得证.14 .运用换元积分法计算下列定积分：(1) £'(l-sin\v)t/A-； (2) J](3)3 j,-- ； (4) J \ yjcos a -cos xdx .解(1) £ (l-sin5x)tZv = £ sin3xJx =^ + £ (l-cos2x)J(cosx)1/4=7T + (COS X - - COS ' X)lj= 7T.•I Vl-x2 , X =1 ——dx= 了厂sin 〃 14 cos",* sin- u 、 一(COSF -1)4〃 =[-cot〃一〃]： = 1-— • t 4=—2[u + ln(l + 〃)]： = 1 — 2 In 2.八:1MBif — cos jv o __4(4) j;T Jcosx-cos、xdx = 2£2 Jcosx sin xdx == -2 j \[udu =—15.设 4〃 = £4 tann xdx ,求an + a^2.£ £解 an + a“+2 = J； tan" x(\ + tan2 x)dx = tanH xd tan xi巴 i——tann",xlj=——〃 +177 + 11小，其中x>0,求/« + / -.1 1+r Jl y(l + y)\xj于是:/⑶+/6H：黑力+『岛力7号力二扣、.17 .设函数 /(X)在(y\2)内满足 f(x) = f(x-7T)+ s\nx 且 /(x) = x,xe[0,笈),「3厅 ”解 J, /(x)dx = L『3开t = X 一冗E"(x-4)+ sinxMx = J.于(工-九)dx]=£+ |f /")，〃 =-^) + sint]dt7T=——+2| f(t-%)力 + j sin tdtU = t —九加~ Mi—+ £_ 2 =_ 2 .018.运用分部积分法计算下列定积分:(1) arctan xJx ； (2) £ (xsin x)1 dx ；(3) sin(ln x)dx ； (3)1,(区 + 工纭川公；(4) plnxk/x； (6) J：eS/x.pl[flr111%-解(1) xarctan xdx = — arctan xd(x") =[—x" arctan xL—— -dxJu2」。
22Jol + x2n 1 r117rl=---lx - arctan x]n =---.8 24 2(2) J (xs。
