2015-年高考重庆理科数学试题及答案word解析版.pdf

1 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学（理科）数学（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 （1）【2015 年重庆，理 1】已知集合，，则（ ）1,2,3A 2,3B （A） （B） （C） （D）ABAB ABBA 【答案】D 【解析】，故选 DA=1,2,2B=2,3BABABA ，且 （2）【2015 年重庆，理 2】在等差数列中，若，，则（ ） n a 2 4a 4 2a 6 a （A） （B） （C） （D）101 6 【答案】B 【解析】利用可求得，故选 B 264 +2aaa 6 0a （3）【2015 年重庆，理 3】重 庆市 2013 年各月的平均气温 （）数据C 的茎叶 图如右，则这组数据的中位数是（ ） （A）19 （B）20 （C）21.5 （D）23 【答案】B 【解析】这组数据是 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32 中位数是， 20+20 20 2 2 故选 B （4）【2015 年重庆，理 4】“”是“”的（ ）1x 1 2 log20 x （A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不 充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，故选 B 1 2 log (2)01xx （5）【2015 年重庆，理 5】某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为（ ） （A） （B） （C） （D） 1 3 2 3 1 2 3 2 2 3 【答案】A 【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为 两部分体积之和：，故选 A 2 11(1 )21 2 11 3223 （6）【2015 年重庆，理 6】若非零向量满足，且，则, a b 2 2 |||| 3 ab 32abab a 与 的夹角为（ ）b （A） （B） （C） （D） 4 2 3 4 【答案】A 3 【解析】，结合，可得，()(32 )() (32 )0abababab 2 2 |||| 3 ab 2 || 3 a bb ，故选 A 2 cos,,,0, , 24|||| a b a ba ba b a b （7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入 的值为k 8，则判断框图可填入的条件是（ ） （A） （B） （C） （D） 3 4 s 5 6 s 11 12 s 15 24 s 【答案】C 【解析】，， 1 0,02 2 skks是，是 11 4+ 24 ks，是 111 6++ 246 ks，是 ，判断框内应该填，故选 C 1111 8+++ 2468 ks，否 11111 ++= 24612 s （8）【2015 年重庆，理 8】已知直线 ：是圆：的l10 xayaR C 22 4210 xyxy 对称轴，过点 4,Aa 作圆 的一条切线，切点为 ，则（ ）CB||AB （A）2 （B） （C）6 （D）4 2 2 10 【答案】C 【解析】，其圆心坐标为，半径由题意可知直线 22 :-2-14Cxy2,1C （）2r 是 圆 的 直 径 所 在 直 线 ， 它 过 圆 心， 所 以:10()l xayaR 2,1C （） 由几何图形可知，21 101( 4, 1)2 10aaAAC 4 ，故选 C 22 4046ABACr （9）【2015 年重庆，理 9】若，则（ ）tan2tan 5 3 cos() 10 sin() 5 （A）1 （B）2 （C）3 （D） 4 【答案】C 【解析】， 2sin 5 tan2tansincos 5 cos 5 3 cos()cos()sin()sincoscossincos 1052555 sin()sin()sin()sincoscossincos 55555 将式带入上式可得：，故选 C 3 cos() 10 3 sin() 5 （10）【2015 年重庆，理 10】设双曲线的右焦点为，右顶点 22 22 10,0 xy ab ab F 为 ，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点AFAF,B C,B C,AC AB 若到直线的距离小于DDBC ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） 22 aab （A） （B） （C） （D）1,00,1, 11, 2,00, 2 ,22, 【答案】A 【解析】由题意可得：在中，由射 22 ( ,0),( ,0), ( ,), bb A aF cB cAFca BF aa Rt ABD 5 影定理有：即点到直线的距离为 2 22 2 2 ( ) () () b BFcaca a BFAF DFDF AFcaa DBC ，由题意得：<而双曲线的渐近 2 2 () ()caca a 2 2 () ()caca a 22 01 b aabac a 线斜率，故选 A( 1,0)(0,1) b kk a 二、填空题 ：本大题共二、填空题 ：本大题共 6 小题，考生作答小题，考生作答 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分把答案 填在答题卡的相应位置 分把答案 填在答题卡的相应位置 （11）【2015 年重庆，理 11】设复数的模为，则 i,ab a bR3iiabab 【答案】3 【解析】复数的模为i( ,)ab a bR 2222 333abab 22 (i)(i)3ababab （12）【2015 年重庆，理 12】的展开式中的系数是 （用数字作 5 3 1 2 x x 8 x 答） 【答案】 5 2 【解析】故的展开式 7 15 3 5 2 155 117 ()()1582 222 r rrrr r r r TCxCxr x 35 1 () 2 x x 中的系数为 8 x 2 5 2 15 22 C （13）【2015 年重庆，理 13】在中，，，的角平分线ABC 0 120B 2AB PABC ，则 3AD AC 【答案】6 6 【解析】由正弦定理可得： ， 2 sin451530 sinsin2 ADAB ADBADBBADBAC BADB ，再由正弦定理可得：30C 6 sinsin ACAB AC BC 考生注意：（考生注意：（14）、（）、（15）、（）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全 做，则按前两题给分 ）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全 做，则按前两题给分 （14）【2015 年重庆，理 14】如 图，圆 的弦相交于点 ，过点O,AB CDE 作圆的切线与的延长线交于点，若，，，AODCP6PA 9AE 3PC ，则 :2:1CE ED BE 【答案】2 【解析】由切割线定理可得：再由相交弦 2 1296,3PAPC PDPDCDCEED 定理可得：2AE BECE DEBE （15）【2015 年重庆，理 15】已知直线 的参数方程为（ 为参数），以坐l 1 1 xt yt t 标原点为极 点 ，轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线的 极 坐 标 方 程 为xC 则直线 与曲线 的交点的极坐标为 2 35 cos24(0,) 44 lC 【答案】2, 【解析】直线 的直角坐标方程为l2yx 222222 cos24(cossin)44.xy 7 由 由 22 22 40 yxx xyy 22 2xy 35 sin0= 44 y 及 故直线 与曲线 的交点的极坐标为lC2,（） （16）【2015 年重庆，理 16】若函数的最小值为 5，则实数 ( )1f xxxaa __ 【答案】4 或-6 【解析】分情况讨论：（1）当时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合1a 函数图像可知 ：在 处取得最小值5，所以；（2）当时，利用 f xa|1| 56aa 1a 零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：在 处取得最小值 5， f xa ，综上，可得实数或 4|1| 54aaa 6 三、解答题 ：本大题共三、解答题 ：本大题共6题，共题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （17）【2015 年重庆，理 17】（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分） 端午节吃粽子是我国的传统 习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这 三种粽子的外观完全相同， 从中任意选取 3 个 （）求三种粽子各取到 1 个的概率； （）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望XX 8 解：（）令表示事件“三种粽子各取到一个”，则A 111 235 3 10 1 4 C C C P A C （）所有可能取值为，且，， X0,1,2 3 8 3 10 7 0 15 C P X C 12 28 3 10 7 1 15 C C P X C 21 28 3 10 1 2 15 C C P X C 故分布列见表： 且 （个） 7713 012 1515155 E X （18）【2015 年重庆，理 18】（本小题满分 13 分，（）小问 7 分，（）小问 6 分） 设 2 sinsin3cos 2 f xxxx （）求的最小正周期和最大值； f x （）讨论在上的单调性 f x 2 , 63 解：（）由题，故的最 2 13 cos sin3cossin21cos2 22 f xxxxxx 3 sin 2 32 x f x 小正周期 ，最大值为T 23 2 X 012 P 7 15 7 15 1 15 9 （）由知，从而当即时，单调递增； 2 , 63 x 02 3 x 02 32 x 5 612 x f x 当即时，单调递减因此，在单调递增，在2 23 x 52 123 x f x f x 5 , 6 12 单调递减 52 , 123 （19）【2015 年重庆，理 19】（本小题满分 13 分，（）小问 4 分，（）小问 9 分） 如 图，三棱锥中，平面，，，分别为线段PABCPC ABC3PC 2 ACB ,D E 上的点，且，,AB BC2CDDE22CEEB （）证明：平面；DE PCD （）求二面角的余弦值APDC 解：（）因平面，平面，故又，，故 PC ABCDE ABCPCDE2CDDE2CE CDE 为等腰直角三角形，且因，平面，平CDDEPCCDCPC PCDCD 面，PCD 所以平面 DE PCD （）如图，取的中点，连由（）知为等腰直角三角形，故，CEFDFCDEDFCE 又，故，因此，从而1DFCFFE 2 ACB / /DFAC 2 3 DFFB ACCB 3 2 AC 以 为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系C,,CA CB CP , ,x y z 则，，，，，故， Cxyz0,0,0C 3 ,0,0 2 A 0,2,0E。