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数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈纵观近几年各地的中考题， 以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射 以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之 产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形 位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、 线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等动态几何型试题题目灵活多变，动中有静、动静结合，能够在运动变化中 发展学生空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的热点下面以 06 、07 年各地中考题为例，将动态几何问题进行分类分析题型一：点动型题型一：点动型点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动 点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊 状态、图形间的特殊关系等进行研究状态、图形间的特殊关系等进行研究1.1.单动点型单动点型例例 1 1（2007 年辽宁十二市）如图， 已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分 别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动） ．。

1）如图①，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？ 点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1） 的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证 明或说明理由．练习练习 1 1（2007 年福州市）如图，直线 AC∥BD，连结 AB，直线 AC，BD 及线 段 AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 P 落在某个部分时，连结 PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD 三个角． （提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0°角．）（1）当动点 P 落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；（2）当动点 P 落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD 是否成立（直接回 答成立或不成立）？（3）当动点 P 落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关 系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．练习练习 2 2（2006 年绵阳市）在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 上一动点，连结 PA ，分别过点 B、D 作 BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为 E、F，如图①．（1）请探索 BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点 P 在 DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系 ？若点 P 在 CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．解决此类动点几何问题常常用的是解决此类动点几何问题常常用的是““类比发现法类比发现法””，也就是通过对两个或，也就是通过对两个或 几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而 获得相关结论。

类比发现法大致可遵循如下步骤：（获得相关结论类比发现法大致可遵循如下步骤：（1 1）根据已知条件，先从动）根据已知条件，先从动 态的角度去分析观察可能出现的情况态的角度去分析观察可能出现的情况2 2）结合某一相应图形，以静制动，运）结合某一相应图形，以静制动，运 用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论3 3）类比）类比 猜想出其他情况中的图形所具有的性质猜想出其他情况中的图形所具有的性质2.2.双动点型双动点型例例 2 2（2007 听哈尔滨市）如图 1，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交 于点 E，AF 平分∠BAC，交 BD 于点 F．（1）求证：；（2）点 C1从点 C 出发，沿着线段 CB 向点 B 运动（不与点 B 重合），同时点 A1从点 A 出发，沿着 BA 的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点 A1也随之停止运动．如图 2，A1F1平分∠BA1C1，交 BD于点 F1，过点 F1作 F1E1⊥A1C1，垂足为 E1，请猜想 E1F1，与 AB 三 者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当 A1E1=3，C1E1=2 时，求 BD 的长．3.3.多动点型多动点型例例 3 3（2006 年眉山市）如图，∠MON = 90°，在∠MON 的内部有一个正方 形 AOCD，点 A、C 分别在射线 OM、ON 上，点 B1是 ON 上的任意一点，在∠MON 的内部作正方形 AB1C1D1.（1）连结 D1D，求证：∠ADD1 = 90°；（2）连结 CC1，猜一猜，∠C1CN 的度数是多少？并证明你的结论；（3）在 ON 上再任取一点 B2，以 AB2为边，在∠MON 的内部作正方形 AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断.练习练习（2007 年宜昌市）如图 1，在△ABC 中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD 是 △ABC 沿 BC 方向平移得到的，连接 AE，AC 和 BE 相交于点 O.（1）判断四边形 ABCE 是怎样的四边形，说明理由；（2）如图 2，P 是线段 BC 上一动点（图 2），（不与点 B、C 重合），连 接 PO 并延长交线段 AE 于点 Q，QR⊥BD，垂足为点 R.①四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由 ；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段 BP 的长为何值时，△PQR 与△BOC 相似？通过上述例题可以发现，双动点的题型可以转化为单动点题型求解，关键是通过上述例题可以发现，双动点的题型可以转化为单动点题型求解，关键是 抓准决定整道题的那个关键的动点，从而将问题转化抓准决定整道题的那个关键的动点，从而将问题转化. .题型二：线动型题型二：线动型1.1.线平移型线平移型例例 4 4（2007 年乐山市）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10．直角尺的直 角顶点 P 在 AD 上滑动时（点 P 与 A，D 不重合），一直角边经过点 C，另一直 角边 AB 交于点 E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD=30°时，求 AE 的长；（2）是否存在这样的点 P，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的 2 倍？若存 在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由．2.2.线旋转型线旋转型例例 5 5（2006 年衡阳市） 已知：如图，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB=1， ，对角线 AC、BD 交于 O 点，将直线 AC 绕点 O顺时针旋转，分别交 BC、AD 于 点 E、F.(1)证明：当旋转角为 90° 时，四边形 ABEF 是平行四边形 ；(2)试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持 相等；(3)在旋转过程 中，四边形 BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明 理由；如果能，说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时 针旋转的度数.线动实质就是点线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会动，即点动带动线动，进而还会 产生面动，因而线动产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型几何问题可以通过转化成点动 型问题来求解型问题来求解. .解决解决此类题的关键是要把握图形运动此类题的关键是要把握图形运动 与变化的全过程，抓与变化的全过程，抓 住其中的等量关系和变量关系住其中的等量关系和变量关系. .从运动变化得图形的特殊位置，进而探索出一般从运动变化得图形的特殊位置，进而探索出一般 的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化 问题是极为重要的问题是极为重要的. .题型三题型三：图动型图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换图动型图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换 。

主要是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中主要是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中 分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察 学生动手能力、观察能力、探索与实践能力学生动手能力、观察能力、探索与实践能力. .1.1.图形平移型图形平移型例例 6 6（2007 年河北省）ABC 中，AB=AC，CG⊥BA 交 BA 的延长线于点 G．一 等腰直角三角尺按如图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直 角边与 AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B．（1）在图 1 中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿 AC 方向平移到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边 在同一直线上，另一条直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DE⊥BA 于点 E．此时请 你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长度，猜想并写出 DE＋DF 与 CG 之间满足的 数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到图 3 所示的位置（点 F 段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（ 不用说明理由）图形平移实质上就是线的平移，线的平移会产生相似图形，所以这类问题图形平移实质上就是线的平移，线的平移会产生相似图形，所以这类问题 解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系。

本题是一道利用三角板为解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系本题是一道利用三角板为 背景设计的题目，求解时一定要了解三角板的特性，使求解难度降低，通过求背景设计的题目，求解时一定要了解三角板的特性，使求解难度降低，通过求 解我们还可以看出，三角板通过适当的操作能变幻出许多精彩的中考数学试题解我们还可以看出，三角板通过适当的操作能变幻出许多精彩的中考数学试题 ，近两年的中考中就频频出现此类问题近两年的中考中就频频出现此类问题2.2.图形旋转型图形旋转型例例 7 7（2007 年临沂市）如图 1，已知△ABC 中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含 30°角的三 角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE，长直 角边为 DF），将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转.⑴在图 1 中，DE 交 AB 于 M，DF 交 BC 于 N.①证明 DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板 DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形 DMBN，请 说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若 不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交 DE 于 M，延长 BC 交 DF 于 N，DM＝ DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶继续旋转至如图 3 的位置，延长 FD 。