详解15章整式整式的乘除与因式分解.doc

第十五章 整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.1.1 同底数幂的乘法知能新视窗知识结构 同底数幂的乘法法则逆用同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则推广学点博览学点1 同底数幂的乘法法则：am·an=am+n(m、n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．理解要点：（1）法则理解①同底数幂是指底数相同的幂．如(-3)2与(-3)5,(ab3)2与(ab3）5,(x-y)2与(x-y)3 等．②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加．（2）法则逆用与推扩①同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．即am+n=am·an(m、n都是正整数)如：25=23·22=2·24等．②同底 数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘．am·an·ap=am+n+p(m、n…p都是正整数)，am·an·…·ap=am+n+…+p(m、n…p都是正整数) ．（3）应用法则注意的事项：①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：32·23≠32+3；②不要忽视指数为1的因数，如:a·a5≠a0+5．③底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体．名师开小灶金考点考点1 同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好． [例1] 计算：（1）-a·(-a)3 （2）-a3·(-a)2 （3）(a-b)2·(a-b)3 （4）(a-b)2·(b-a)3[点拨] 根据幂的符号法则，把幂的底数统一．[解答] (1)-a·(-a)3=(-a)4=a4(2)-a3·(-a)2 =-a3·a2= -a3+2= -a5(3)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)2+3=(a-b)5(4)(a-b)2·(b-a)3=(b-a)2·(b-a)3=(b-a)5[方法规律] 在am·an=am+n中，a可以代表任意的有理数，单项式、多项式，解这类题目往往要用到幂的符号法则使底数一致。

常见的变形如：(a-b)2n= (b-a)2n,(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数)等．考点2：同底数幂的乘法法则的推广三个或三个以上同底数幂相乘，法则一样适合．[例2] 计算：（1）x2·(-x)3·(-x)4 (2)xn·xn+1·xn -1·x(3)(x-2y)2·(x-2y)m -1·(x-2y)m +2 (4)(x-y)4·(y-x)5·(y -x)2·(x-y)[点拨]在底数相差符号时，可先利用指数的奇偶性将底数化为相同，再用同底数幂的乘法法则．[解答]（1）x2·(-x)3·(-x)4=x2·(-x3)·x4=-x2+3+4=-x9（2）xn·xn+1·xn-1·x=x3n+1（3）(x-2y)2·(x-2y)m-1·(x-2y)m+2=(x+2y)2+(m-1)+(m+2)=(x-2y)2m+3（4）(x-y)4·(y-x)5·(y-x)2·(x-y)=(y-x)4·(y-x)5·(y-x)2·[-(y-x)]=-(y-x)4+5+2+1=-(y-x)12[方法规律]（1）如果是三个或三个以上的同底数幂相乘仍然适合法则，即am·an·…·ap=am+n+……+p(m、n…p都是正整数) ．考点3 同底数幂的乘法法则的逆用巧妙地逆用同底数幂的乘法法则，可创性地解看似无从着手的题目，从而培养逆向思维能力．[例3]已知am=2,an=3(m、n为正整数)，求am+n的值．[点拨]逆用同底数幂的乘法法则，可将am+n变为am·an．[解答]∵am=2,an=3,∴am+n=am·an=2×3=6[方法规律]灵活变形、逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an(m、n都是正整数)考点4 混合运算混合运算主要考查综合解决问题的能力，此类综合题要找准方法，注意运算顺序．[例4]计算（1）（-3）100+（-3）99+（-3）54·（-345）．（2）x3·xm-xm+3+(-x3)·(-x)2[点拨]混合运算，应先算乘法，后算加减，注意同底数幂的乘法法则与合并同类项的区别，有时逆用同底数幂的乘法法则可简化运算．[解答]（1）（-3）100+（-3）99+（-3）54 ·（-345） =（-3）（-3）99+（-3）99+（-3）54 ·（-3）45 =（-3）（-3）99+（-3）99+（-3）99 =（-1）（-3）99=399 （2）x3·xm-xm+3+(-x3)(-x)2 =x3+m-xm+3+(-x)3(-x)2 =0+(-x)5 =-x5[注意的问题]1．在混合运算中，要注意法则的正用和逆用。

尤其对逆向变形应加以重视．2．n为偶数时，（-a）n=an,n为奇数时，（-a）n=-an经常需要运用这一特性简化运算．金钥匙能力拓展 [例1]已知2a=3,2b=6,2c=12,那么a、b、c是否满足a+c=2b的关系？若满足，请说明理由，若不满足，请说明原因 [点拨]找指数a、b、c三者之间关系，逆用同底数幂的乘法法则是突破口，[解答]：满足a+c=2b的关系理由如下：∵2a=3,2c=12,∴2a+c=2a·2c=3×12=36, 又∵2b=6,∴22b=2b+b=2b·2b=36∴2a+c=22b ∴a+c=2b 综合运用[例2]已知xm-n·x2n+1=x11,ym-1·y4-n=y7求m+n的值．[点拨]利用当同底数幂相等时，则幂指数相等，列出方程，求出m、n的值． [解答]∵xm-n·x2n+1=x11 ∴xm-n+2n+1=x11∴xm+n+1=x11∴m+n+1=11……① 又∵ym-1·y4-n=y7∴ym-1+4-n=y7∴ym-n+3=y7∴m-n+3=7……②m+n=10, m=7,由①②得方程组为 解得 m-n=4 , n=3.∴m=7，n=3[方法规律]利用已知的条件构造出方程是解此类题综合题的基本方法．误区警示[例3]（1）若等式2n·xn=22n对于一切正整数n 都成立，x是多少？ （2）如果存在整数n，等式2n·xn=22n ，x一定等于2吗？ [点拨]可以逆用am·an=am+n,即利用2n·xn=22n=2n·2n，从而考察xn=2n对x的条件限制．[解答]（1）∵2n·xn=22n, ∴2n·xn=2n·2n，∵n为正整数，2n≠0, ∴xn=2n，又∵2n·xn=2n对于一切正整数n都成立，∴x=2， (2)当n为奇数时，xn=2n,x=2 当n为偶数时，∵（±2）n=2n， ∴x=±2 综合所述：x不一定等于2．[误点剖析]由xn=2n,不能简单认定x=2或x=±2,一定要看指数n 的条件，所以幂相同，指数相同，底数未必相同．15.1.2 幂的乘方知能新视窗知识结构 幂的乘方法则逆用幂的乘方的意义 幂的乘方法则 幂的乘方法则推广 学点博览学点1 幂的乘方的意义幂的乘方是指n个相同的幂相乘．学点2 幂的乘方法则(am)n=am·n(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．理解要点（1）同底数幂的乘法与幂的乘方的异同 符号表示相同点不同点同底数幂的乘法am·an=am+n（m、n都是正整数）底数不变指数相加幂的乘方(am)n=am·n（m、n都是正整数）底数不变指数相乘（2）、法则逆用与推广①、幂的乘方法则可以逆用：amn=(am)n=(an)m,例如： 310=32×5=（35）2=（32）5②、幂的乘方法则可以推广到多个指数的情形．[(am)n]p=amnp(m、n、p都是正整数)（3）运用幂的乘方法则时注意的事项：①不能混淆幂的乘方与同底数幂的乘法，在底数相同的条件下，乘法指数相加，乘方指数相乘．②在计算（-x）n时，一定要注意n的奇偶性．③利用同底数幂的乘法和幂的乘方可对式子作适当变形． 名师开小灶金考点考点1 幂的乘方法则应用幂的乘方法则进行计算时，要注意区分与其他法则的异同，二要认真分析算式的具体情况，灵活、正确的运用法则．[例1]化简（-a2）3的结果为 （ ）A．-a5 B．a5 C．-a6 D．a6[点拨]关键是分清底数和指数是什么，然后再用法则 [解答]选c[方法规律]先分清式子中符号是否属于底数，再正确应用乘方的意义来确定符号．考点2 幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算在综合运用两个法则计算时，一要注意区分两个法则应用的条件，不能混淆，幂的乘方是变乘方为乘法，同底数幂的乘法是变乘法为加法，二要注意运算顺序，先用幂的乘方性质，再利用同底数幂的性质．[例2]（m2）3·m4等于 （ ）A．m9 B．m10 C．m12 D．m14 [点拨]先用幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘法计算[解答]选B[温馨提示]本题是一个幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算，依次运用两个法则，要注意在指数概念不清可能发生的错误．考点3 幂的乘方法则的逆用幂的乘方法则的逆用是一个难点，不知逆用法则，有些问题就束手无策．[例3]已知am=2,an=3,求a2m+3n的值．[点拨]利用am+n=am·an和amn=(am)n的性质，将a2m+3n转化为(am)2·(an)3的形式。

[解答]a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=22×33=108[方法规律]逆用性质转化，整体代入求值．金钥匙能力拓展[例1]若2m+1=x,4m+3=y,你能用含x的代数式表示y吗？[点拨]把底数4化成22，逆用幂的乘方法则，用代入法消去m．[解答]：∵x=2m+1, ∴2m=x-1 又∵y=4m+3=(22)m+3=(2m)2+3 ∴y=(x-1)2+3[方法规律]利用(am)n=(an)m的性质，将(22)m转化成(2m)2的形式是解题。