导致解题错误的原因剖析及防范策略.doc

导致解题错误的原因剖析及防范策略导致解题错误的原因剖析及防范策略学生每次作业都或多或少有些错误，且造成错误的原因是复杂 的•这就要求我们研究导致错误的原因，对症下药，以课堂为中心改 进教学，防范错误，提高学生数学学习的成效.1忽视概念的实际背景数学概念的产生有其特定的背景，忽视这一背景就极易导致解题 失误.例1设点P到点F(0, 1)的距离与它到直线1: x+y?l二0的距离相等，则点P的轨迹是A.抛物线B.椭圆C.双曲线D. —条直线错解根据抛物线定义，选A.剖析错因是忽视抛物线定义中“点F不在直线1上”的几何背 景.防范策略教学中要重视圆锥曲线图形产生过程的实验演示•指 出：不同的几何背景产生不同的轨迹，使学生深刻认识每一种具体圆 锥曲线的特定几何背景(如点P到定点F的距离与它到定直线1的距 离相等：(i )当点F在1上时，点P的轨迹是一条直线；(ii )当点 F不在1上时，点P的轨迹是抛物线)•从而有效避免此类错误的发 生.2忽视特例当特例不包含于一般情形之内时，如忽视对特殊情况进行具体讨 论，就会造成解题疏漏.例2过点P(2, 4)作圆C: (x?l)2+(y?2)2=l的切线1,求切线1 的方程.错解 设切线1的方程为:y?4=k ( x?2).由圆心C(l, 2)到切线1的距离2l+?kk2二1,解得k二34,所求切线1的方程为y?4二43(x?2),即 3x?4y+10二0・剖析所设切线1方程蕴含限制条件，其前提是斜率k存在•很明 显，点P在圆C外，这样的切线应该有两条，说明另一条切线的斜率 不存在，其方程为x二2•切线1有两条：3x?4y+10二0以及x二2.防范策略 教学中要引导学生重视知识生成中的一些特殊规定， 加强思维严谨性训练，培养周密思考的习惯.3以…概全有些数学问题有多种结果，如果只满足于一种结果，缺乏全面考 虑，就会造成漏解.例3已知长方形纸片ABCD中，AB二4, CD二2,将该纸片作为一 个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.错解设底圆半径为「则2 n ?r=4圆柱的体积V二n ?r2?CD二n 8.剖析 此处只考虑了以AB作为底圆周长的情况，忽视了以CD作 为底圆周长也合乎题意•而当2兀?r=2吋，V二n ?r2?AB-兀4.所以圆柱 的体积为8JI或4兀・防范策略教学中引导学生多角度审视命题，探究命题可能蕴含 的多种情形，就能克服浅尝辄止，有效防范因考虑片面导致的漏解.4忽视公式(定理)成立的条件教学中经常发现，学生因忽视公式、定理成立的条件，导致错误 结果.例4已知a >0, b >0,且a+ b二1,求2a+3b的故小值.错解 Va >0, b >0,且 a+ b =1.・・・abW??? a+2 b?99• •2=14 (1) •又a2+3b±2a6b (2),所以a2+3b±4 6,即a 2+b3有最小值4 6.剖析:不等式(1)中“二”成立的条件为a二b二12,不等式(2) 中“二”成立的条件为3a二2b,即a =25, b二53,可见，这两个“二” 号不能同吋成立，应变换解题途径.事实上,Va+ b 二 1 , A2a+b3=2 (aa+ b)+3 (ab+ b)二5+2ab+3ba^5+2 6,当且仅当3a2=2b2时“二”成立，故a2+b3的最小值为5+ 2 6•防范策略：教学中重视知识发生过程 的展示，使学生深刻认知公式、定理成立的前提条件，能有效避免此 类错误.5混淆“词义”与实际含义的差杲忽视“词义”与实际含义的差别，导致解题错误吋，往往是错而 不觉.例5生产某种产品100件，其中有2件是次品•现在抽取5件进 行检查，其中至少有1件次品的抽法有多少种？错解：先从2件次品中选出1件,有C12种选法,此时已确保有 1件次品•再从余下的99件中任选4件，有C499种选法，共有C12? C94 9种不同选法.剖析：此处错误十分隐蔽，原因是“至少”一词惹的祸•词义的 理解似乎没有什么问题，实际却存在重复计算的错误.防范策略：教学中可将问题具体化•不妨以31、卫表示次品，以C1、C2、…、C98表示正品•先取al,再取C1、C2、C3、a2与先取a2, 再取 Cl、C2、C3、al属于同一种选取方案，它们都在C12? C949种选法中•可见，上述解答中含有C22?C93 8种重复选法•正确答案是：C127C949?C22?C398种不同选法•学生借助具体模型进行辨析，印记深刻, 能有效避免重蹈覆辙.6遗漏题设条件解题时忽视题设条件的限制，是造成失误的重要原因之一.例6已知双曲线x2?y2=l的左支上一点P( a, b)到其渐近线的 距离等于2,求d+b的值.错解：•••点P(a, b)在双曲线x2?y2二1上，Aa2?b2=l-①，由 点P到渐近线x?y二0的距离a?2b二2,得a? b二2… ②，解①、②得a+b二±12.再由点P到渐近线 x+y二0的距离d+2b二2,得 a+ b 二±2.故 a+ b 的值为±2 1 或±2.剖析：解答中遗漏了点P在双曲线左支上这个条件，即忽视了点 P的坐标(a, b)应满足：???aa+? bb <〈00这个条件，正确结果是a+ b等于？12或?2.防范策略：解题时，引导学半沉着冷静，克服急于求成的情绪, 养成逐字逐句细心读题的习惯，就能避免粗心大意导致的失误.7忽视隐含条件有些问题受到一些隐含条件的制约，如不充分挖掘，常会导致谬 误.例 7 已知在AABC 中，sinA 二 153, cosB 二54,求 sinC 的值. 错解：在△AEC 中，cosB =45,AsinB=35. sinA =153, AcosA=l 13 2 或?1123. sinC=sin(A+ B)二sinAcosB+cosA sinB=5 6 65 或?1665.剖 析：若sinC二？1 665<0,则C >180° ,结果谬误•错因是忽视了三角 形内角和A+ B+ 0180°这个隐含条件.因为cosB =45时，B >30° ； 若 cosA =?112 3则A >150° ,导致A+ B>180° ,故正确答案为sinC二5665.防范策略：解题时除了要把握题设中的隐含条件，还要注意知识 体系隐含的制约条件，并作为解题的依据，做到步步有据，严谨踏实， 才能有效避免此类错误的发生.8忽视推理解题时忽视严谨推理，依据错觉想当然地得出结论，也是学纶常 犯的毛病之一.例8如图，长方形ABCD中，AB二2, BC二1, E为DC的中点，F 为线段EC(除端点外)上的动点，现将AAFD沿AF折起，使平面ABD丄 平面ABC,在平面ABD内过点D作DK丄AB, K为垂足，设AK=t,求t 的取值范围.错解：DEFCD H HEFCAKBAKB图1图2设DF二x,则l

cW3）都有S5kk+ l??cc<2恒成立，求c的取值范围.错解：由题设得Sn=4X???l????21???n9?• •??,化sskk+1??cc<2为cc9■?[[44?9■64XX??????2112kk]〉0,则对任意正整数k都有c>4? 4X???12???k・・・(1)成立或c〈4? 6X???12???k・・・(2)成立.欲使(1)式成立，得c±4；欲使(2)式成立，c2；(2) 当 k 二2 时，应有 072；当 k^3 时，4? 4X?99• •12???k227, 4? 6X???12???k43 •注意到题设条件0〈cW3,则对于任意正整数k,都有SSkk +1??cc<2恒成立的c的范围是：0