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微积分在经济学中的应用专题 一、 一元函数微分学中在经济学中的应用1、 复利和贴现 设是现有本金，是年利率，是年末的未来值，按连续复利计算，则有复利公式：贴现公式： 说明：（公式的导出）（微元法）记，取微小区间，则有，即，令，在则有，又因为，故2、“边际”概念：“边际”：经计量的变化率，即经济函数的导数1）边际成本：产量增加一个单位时所增加的总成本为总成本函数，其中为产品的产量，则称为边际成本函数所以其经济意义是近似于产品为时再增加一个单位产品所需增加的成本2）边际收益：多销售一个单位产品时所增加的销售总收益为总成本函数，其中为销售出的产品的总量，则称为边际收益函数所以其经济意义是近似于产品为时再销售一个单位产品所增加的收益3）边际利润：多销售一个单位产品时所增加或减少的总利润为总成本函数，其中为销售出的产品的总量，则称为边际利润函数所以其经济意义是近似于产品为时再销售一个单位产品所增加或减少的利润4）因为，所以，此时为产品的销量（产量），所以3、弹性（1）弹性：用于定量地描述一个经济变量对另一个经济变量的反应程度，即当一个经济变量变动百分之一时会使另一个经济变量变动百分之几设经计量和有函数关系，，，则的相对变化为，相对变化为，那么称为的平均弹性。

令，称为在处的弹性，称为的弹性函数，记为，2）需求（对价格的）弹性需求函数，为需求量，为价格，则需求对价格的弹性为，记为注：①一般，的意义是：当某产品的价格上涨（下跌）1%时，其需求量将减少（增加）%②提价或降价对总收益的影响与有关系 （3）收益（对价格的）弹性，由于，所以【例1】（89）某商品的需求量与价格的函数关系为，其中和为常数，且，则需求量对价格的弹性是 .【答案】【例2】（92）设商品的需求函数，其中、分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是 .【答案】二、一元函数积分学在经济中的应用1、已知生产某种产品的固定成本为，边际成本为，其中为该产品的产量，则生产该产品的总成本函数为2、已知销售某种产品的边际收益为，其中为该产品的销售量，则销售该商品的总收益函数为3、已知某产品的总产量的变化率是时间的连续函数，即，则从时间到时间，产品产量的变化为 若已知时的产量为，则总产量函数为【例3】设生产某产品的固定成本为50，产量为单位时的边际成本函数为，边际收益函数为，求总成本函数，总收益函数，总利润函数本章强化练习1、 （10）设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则______.答案：2、 （09）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.答案：80003、 （08）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ 答案：3980万元4、（07）设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）（A）10 （B）20 （C）30 （D）40答案：（D）5、（97）一商家销售某种商品的价格满足关系（万元/吨），为销售量（单位：吨），商品的成本函数是（万元）.（Ⅰ）若每销售一吨商品，政府要征税（万元），求该商家获最大利润时的销售量；（Ⅱ）为何值时，政府税收总额最大.6、（01）设生产函数为，其中为产出量，是劳动投入量，是资本投入量，而均为大于0的参数，则当时关于的弹性为 。

答案：7、（91）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为和，总成本函数为，试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？答案：时，其最大总利润为.。