“多解题”题集.doc

2013 年中考数学专题复习多解数学问题满足条件的多解题就是指我们在解数学题时，如果遇到的对象不确定，就要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，这就是满足条件的多解题．温馨提示：满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广，综合性较强，题意构思精巧，而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法——分类讨论，今年我省的中考数学中这种题型不但在综合题中会有所涉及，而且特别规定把原来的多项选择型的第 14 题调整为一道“满足条件的多解”型题，进一步强调分类讨论这一思想方法的考查．这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，要求同学们在复习中应加强对多向思维的培养，学好分类讨论这一思想方法，熟练掌握这一题型的特征与解法．分类讨论思想是指当数学问题中研究的对象不确定，不宜用统一方法处理时，常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想．分类讨论是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题策略．从几何角度来看在看：在等腰三角形问题中，腰和底没有明确时，在直角三角形问题中.直角边和斜边没有明确时，三角形全等、三角形相似或位似的对应关系不明确，动点在不同的位置产生不同的图形，在平行四边形问题中.边和对角线没有明确时，在拼接问题中，拼接的方式没明确时等；在代数方面：是正是负没有明确时，已知数与未知数没有明确大小时，在实际问题中，某方面的情境不明确时，数学解析中的待定系数的正、负号，函数的增减性等。

抛物线的开口方向，一次函数中的 k、b 反比例中的 K 的正负号一、基础知识回顾1.若 a=2， =3，则 ab 的值为 .b2.（2012·广元）已知等腰三角形的一个内角为 80°，则另两个角的度数是_ _．3.（2012·呼和浩特）一组数据-1,0,2,3，x，其中这组数据的极差是 5，那么 x 的值是　　　.4.如图，是象棋盘的一部分，一匹“马”在图示的位置，如果“马”现在的位置可表示为（7，3） ，按照象棋的规则， “马”下一步跃到的位置可表示为 .5.（2012·襄阳）△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，若∠ AOC＝160°，则∠ ABC 的度数是 .二、经典例题分析例 1.（2011 贵州安顺）已知，如图 1：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A、 C 的坐标分别为A（10，0） 、 C（0，4） ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为 ．分析：题中不确定的对象是什么呢？显然题目给出了条件2“△ ODP 是等腰三角形” ，但未指明在△ ODP 中哪两条边相等，因此我们的讨论对象是：△ODP 中哪两条边相等，从而可分为三类：当 OP＝ OD 时，则点 P、 D 到点 O 的距离相等，因此只要以 O 为圆心， OD 的长为半径画弧，交 CB 于一点 P，过点 P 作 PE⊥ OD 于 E，由勾股定理可求得 OE＝3，则 P（3，4） ；当 DO＝ DP 时，则点 O、 P 到点 D 的距离相等，因此只要以 D 为圆心， DO 的长为半径画弧，交 CB 于两点 P，过点 P 作 PE⊥ OD 于 E，当∠ ODP 为锐角时，由勾股定理可求得DE＝3， OE=5－3＝2，则 P（2，4） ；当∠ ODP 为钝角时，由勾股定理可求得 DE＝3， OE＝ 5 + 3＝8，则 P（8，4） ；当 PO＝ PD 时，则点 P 在 OD 的垂直平分线上，因此只要作 OD 的垂直平分线 PE 交 CB 于一点P，垂足为 E，由勾股定理可求得 OP＝ ，显然结果不等2894522＝）（＝ PEO于 5，不合题意，舍去；其他解法：方法 1： OD、 DP、 OP 轮流为底边，同时要注意以 OD 为底边时 OP、 PD 是腰，但不会等于 5，易产生错解，以 OP 为底边时又易漏掉一种情况．方法 2：∠ POD、∠ ODP、∠ OPD 轮流为顶角，这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为 5 的限制，故直角是不可能，∠ POD 为钝角不可能，∠ PDO 既可以是锐角，又可以为钝角．答案： （3，4） ， （2，4） ， （8，4） ．1P3P方法感悟：这道题告诉我们，在抓住了分类讨论的特征后，还要学会掌握分类的标准（或说方法）．而有了分类的标准，就要自始至终使用这一标准分类，同时在求满足条件的点的坐标时，画出相应的图形，使用图形分析求解也是十分必要的，还要特别注意，分类后还应注意题中约束条件，谨防出现不合要求的解或漏解现象．例 2.在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC＝3， BC＝4，过点 B 作射线 BB1∥ AC，动点 D 从 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发，沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动，过点 E 作 EF⊥ AC 交射线 BB1于点 F， G 是 EF 的中点，连接DG，设点 D 运动的时间为 t 秒，当△ DEG 与△ ACB 相似时，求 t 的值．C D E C DEAB B1FGAB B1FG分析：通过观察，可以发现图形随着点 D、 E 的位置变化而发生变化，而点 D、 E 间的位置关系又随着时间 t 的值的变化而变化，观察运动过程发现随着时间 t 的值的变化过程中D、 E 两点有几种不同的位置关系呢？（开始一段时间点 D 在点 E 的左侧，然后 D、 E 两点重合，再后一段时间点 D 在点 E 的右侧）因此我们要讨论影响 D、 E 两点位置关系的时间 t 的取值范围，显然我们易求 D、 E 两点重3合时的时间 t 的值 ，从而可以确定这几种不同位置关系的时间 t 的范围．23因为当 D、 E 两点重合时△ DEG 不存在，所以可以分为两类：⑴当 即点 D 在点 E 左侧时，△ DEG 与△ ACB 相似；t⑵当 即点 D 在点 E 右侧时，△ DEG 与△ ACB 相似；23而△ DEG 与△ ACB 相似，其对应边无法确定，因此每类情况的相似还要进行讨论，当时△ DEG∽△ BCA，当 时△ DEG∽△ ACB，从而共分四种不同情况求出ACBEGBCAG时间 t 的值．解：由题意， AD＝5 t， CE＝3 t， DG＝2，当点 D、 E 重合时，有 AD＝ AC+CE，即 5t=3t+3，解得 ；23t（1）如图 1，当 即点 D 在点 E 左侧时， DE＝ AE－ AD＝3 t+3－5 t=3－2 t，t①若 ，则△ DEG∽△ BCA， 有 ，得 ；ACBEGD423t61②若 ，则△ DEG∽△ ACB， 有 ，得 ；t（2）如图 2，当 即点 D 在点 E 右侧时， DE＝ AD－ AE＝5 t－（3 t+3）=2 t－3，3t①若 ，则△ DEG∽△ ACB，有 ，得 ；BCEGD423t29②若 ，则△ DEG∽△ BCA，有 ，得 ；A617t综上，当 t 为 秒时，△ DEG 与△ ACB 相似．6172943、、、方法感悟：分类讨论的原则：(1)分类的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)；(3)分类讨论应逐级进行．三、课堂训练反馈1.如图，在直角坐标系中，已知 A（1，0） 、 B（－1，－2） 、 C（2，－2）三点坐标，若以A、 B、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形，那么点 D 的坐标可以是 ．42.若抛物线 与坐标轴有两个交点,则 的值为 . cxy2 c.810或四、解题方法归纳1. 分类讨论的一般步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围；(2)确定分类的标准并进行合理分类；(3)逐级讨论并总结概括得出结论．分类讨论解题的关键是如何正确进行分类．2. 分类讨论的原则：(1)分类的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)；(3)分类讨论应逐级进行．五、练习题1.已知等腰三角形的每条边的长都是方程 2430x的根，则等腰三角形的周长是 ．2． “五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在 100 元（不含 100 元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在 100 元（含 100 元）以上，300 元（不含 300 元）以内时一律享受九折的优惠；（3）一次购物在 300 元（含 300 元）以上时，一律享受八折的优惠．在此期间某顾客一次性购物付款 252 元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了 元．3． （2012·江西）如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合．将△ AEF 绕其顶点 Ａ旋转，在旋转过程中，当 BE=DF 时，则∠ BAE 的大小可以是 .4．如图，点 A、 B 段 CD 上， CD=12cm， CA=1cm， BD=2cm， ⊙ A、⊙ B 的半径分别为1cm，2cm，⊙ A 以每秒 2cm 的速度自左向右段 AD 上运动，则当点 A 出发后 秒后两圆相切．5. （2012 浙江丽水）如图，在直角梯形 ABCD 中，， ， ， ，在底边 AB 上取点 E，在射线 DC 上90A120B3AD6B取点 F，使得 。

E5ADEF CB（1）当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是_________;6（2）若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是________2 或 56、 （2012·北京）如图，在平面直角坐标系 中，函数xOy的图象与一次函数 的图象的交点40yxyk为 ．2Am，（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数 的图象与 轴交于点 ，若 是 轴上ykxyBPx一点， 且满足 的面积是 4，直接写出点 的坐标．PAB△7、 、Rt △ABC 中，已知∠C=90°，∠B=50°，点 D 在边 BC 上，BD=2 CD（如图）．把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0 ＜m ＜180）度后，如果点 B 恰好落在初始 Rt△ABC的边上，那么 m= 80°或 120°．解：如图，段 AB 取一点 B′，使 DB=DB′，段 AC 取一点 B″，使 DB=DB″，∴旋转角 m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，在 Rt△B″CD 中， ∵DB ″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°- ∠CDB ″=120°．故答案为：80°或 120°．。