【课件第24讲圆的基本性质.ppt

安徽省数学第六章　图形的性质(二)第24讲　圆的基本性质要点梳理 1．主要概念(1)圆：平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆． 叫圆心， 叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫 ，连接圆上任意两点的线段叫 ，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的 ．定点定长定点定长弧弦弦要点梳理 (3)圆心角：顶点在 ，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在 ，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在 中，能够完全 的弧．圆心圆上同圆或等圆重合要点梳理 2．圆的有关性质(1)圆的对称性：①圆是 图形，其对称轴是 ．②圆是 图形，对称中心是 ．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．轴对称过圆心的任意一条直线中心对称圆心要点梳理 (2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且__ ．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径 ，并且 ；②弦的垂直平分线 ，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧经过圆心要点梳理 (3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ．②推论：在同圆或等圆中，如果两个 、 、__ __、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距要点梳理 (4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 ．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 ．②半圆(或直径)所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ．一半相等直角直径要点梳理 (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上⇔ ；②点P在圆内⇔ ；③点P在圆外⇔ ．d＝rdr要点梳理 (6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边 的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．垂直平分线要点梳理 (7)圆的内接四边形：圆内接四边形的对角 ．3．相关辅助线互补一个防范对垂径定理的理解，同学们往往把定理所需要的条件遗漏，如容易漏掉经过圆心或者垂直，而这两个条件必须同时具备．一种思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．两条辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形；(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．1．(2014·毕节)如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )A．6　　　 B．5C．4 D．3B2．(2012·安徽)如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__． 3．(2014·赤峰)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB.若∠DAB＝65°，则∠BOC＝( )A．25° B．50°C．130° D．155°C4．(2014·济南)如图，⊙O 的半径为1，△ABC是⊙O 的内接等边三角形，点 D，E 在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是 ( ) A．2 B. 3 C.32 D.32 B5．(2013·安徽)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是( C )A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形 　圆周角与圆心角的关系 【例1】　(2014·山西)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为( )A．30°　　B．40°C．50° D．80°B【点评】　当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来．1．(2014·临沂)如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( )A．25° B．50°C．60° D．80°B圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例2】　(2014·龙东)直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是 ．30°或150°【点评】　在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补．2．(2013·内江)如图，半圆O 的直径AB＝10 cm，弦 AC＝6 cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为( ) A．4 5 cm B．3 5 cm C．5 5 cm D．4 cm A点与圆的位置关系【例 3】 矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝3 5，P 点在边AB 上，且 BP＝3AP，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是 ( ) A．点 B，C 均在圆P 外 B．点 B 在圆P 外，点 C 在圆P 内 C．点 B 在圆P 内，点 C 在圆P 外 D．点 B，C 均在圆P 内 C【点评】　本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．3．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外A垂径定理及应用【例4】　(2014·南宁)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( )A．40 cm B．60 cmC．80 cm D．100 cmA【点评】　本题考查垂径定理及其推论、勾股定理、方程思想．4．(2014·哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．。