第二十二章-二次函数(单元总结)(原卷版).docx

第二十二章 二次函数单元总结【思维导图】【知识要点】知识点1：二次函数的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，  b ，  c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数注意：二次项系数a≠0，而b ，  c可以为零． 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．（2）a ，  b ，  c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．【典例分析】1．下列函数是二次函数的是（ ）A．y=x（x+1） B．x2y=1C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.52．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．3．已知函数 为二次函数，求m的值．知识点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的基本表现形式：①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax-h2；④y=ax-h2+k；⑤y=ax2+bx+c.第一种：二次函数y=ax2的性质（最基础）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 ，  0y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下0 ，  0y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．第二种：二次函数y=ax2+c的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 ，  cy轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下0 ，  cy轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．第三种：二次函数y=ax-h2的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h ，  0X=hx>h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x0向上h ，  kX=hx>h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； （2）当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．n 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（1）在a>0的前提下，当b>0时，-b2a<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，-b2a>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）．（2）在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时，-b2a>0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，-b2a<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b同号）．【总结起来】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．n 常数项c（1）当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；（2）当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；（3） 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a ，  b ，  c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．【典例分析】4．（2019·沙雅县第二中学初三期中）函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ 　）A．y=﹣2（x﹣1）2+2 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 C．y=﹣2（x+1）2+2 D．y=﹣2（x+1）2﹣25.将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A．y=(x-2)2 B．y=(x-2)2+6 C．y=x2+6 D．y=x26．（2019·湖北省武汉一初慧泉中学初三月考）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A（－1 ，y1），B（2，y2），C（4，y3）在此函数图象上，则y1，y2与y3的大小关系是A．y1＞y2＞y3． B．y2＞y1＞y3． C．y3＞y1＞y2． D．y3＞y2＞y1．7．二次函数y＝2(x-1)2＋3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝1C．抛物线的顶点是(1，3) D．当x＞1时，y随x的增大而减小8.已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C．D．9．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（　　）A． B．C． D．10．如图是二次函y=ax2+bx+c 的图象，下列说法错误的是（ ）A．函数y的最大值是4 B．函数的图象关于x =-1对称C．当x<-1时，y随x的增大而增大 D．当-40知识点三 抛物线与x轴的交点二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交； ②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切； ③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.【典例分析】11．（2019·湖北省武汉一初慧泉中学初三月考）抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是A．0． B．1． C．2． D．3．12．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（　　）A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠013．（2019·云南中考模拟）已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上（1）求m、n的关系式；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式．14．（2019·张家界市民族中学初三月考）抛物线y=x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围．知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）Ø 三点式（带入）1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式Ø 顶点式（顶点坐标（-b2a，4ac-b24a））1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式Ø 交点式（带入）1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=12a(x-2a)(x-b)的解析式Ø 定点式1、在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=-12x2+5-a2x+2a﹣2经过x轴上一定点Q，直线y＝（a﹣2）x+2经过点Q．求抛物线的解析式．2、抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式Ø 平移式1、把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式2、抛物线y=-x2+x-3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.Ø 切点式1、已知直线l：y＝mx﹣m2（m＞0）与抛物线y＝ax2有唯一公共点A，求抛物线的解析式．2、直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。

带入）Ø 判别式式1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式2、（2018秋•福州期末）已知函数y＝mx2+（2m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．。