2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】.doc

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列为递增数列，为其前项和，已知，，则（    ）A． B． C． D．A【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.【详解】设数列的公差为，由，，得：，解得：，又因为数列递增，所以，，所以．故选：A．2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ）A．1 B． C．2 D．3A由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.【详解】由双曲线知：且，而其与椭圆有相同焦点，∴且，解得，故选：A3．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A．1 B． C． D．D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选D．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．4．已知数列前项和为且 为非零常数则下列结论中正确的是（    ）A．数列不是等比数列 B．时C．当时， D．C【分析】根据，利用数列通项和前n项和的关系求解，再逐项判断.【详解】解：因为，所以，当时，，两式相减得，又，所以数列是以p为首项，以为公比的等比数列，故A错误；当时，，故B错误；当时，，所以，故C正确；由得，故D错误，故选：C5．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　  　)A． B．C． D．A【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到，进而可求出结果.【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，设所求抛物线方程为：，因为其以为焦点，所以，因此；故抛物线方程为.故选：A本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.6．给出下列说法：①方程表示一个圆；②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4B【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；对于③，根据双曲线的定义，可得答案；对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】方程即不表示圆，故①错；若m>n>0，则方程，即，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对；已知点、，若，所以动点P的轨迹是一条射线，故③错；设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为M,由抛物线的定义可得即为AB两点到准线的距离和，即为M点到准线距离的两倍，所以以AB为直径的圆与准线相切，故④对；故选：B.7．以下四个命题表述错误的是（    ）A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点B【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点 为直线上一点，求出切线的方程即可判断．【详解】解：选项A：圆的圆心为 ，半径 ，所以圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线 表示圆心为，半径 的圆，方程可化为，因为圆 与曲线 有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径  ，同时两圆的位置关系为外离，有 ，即 ，解得，故B错误；选项C：圆的圆心 ，半径 ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形， ，当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为，故选项C正确；选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，所以直线过定点，D正确．故选：B．8．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（    ）A． B．C． D．C【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.【详解】数列满足．且，所以，，，，.所以解下个环所需的最少移动次数为．故选：C．二、多选题9．下列四个命题中，假命题的是（    ）A．要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点B．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率CD【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．【详解】A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确．故选：CD．10．已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则（    ）A．以线段为直径的圆与直线相离B．的最小值为C．为定值D．当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点ABCD【分析】设出点的坐标和、的方程，方程与抛物线联立，利用韦达定理，利用已知条件，对选项逐个判断即可．【详解】解：设为线段的中点，则点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离，A正确；设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，，则，．于是，当时，有最小值为，B正确；由，，得为定值，故C对；，则直线的方程为，令，得即与轴的交点为，恰为准线与轴的交点，故D正确．故选：ABCD．11．已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有A．数列的前10项和为100B．若成等比数列，则C．若，则n的最小值为6D．若，则的最小值为AB由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.【详解】由已知可得:,,,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确; 成等比数列,则,即,解得故B正确;因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.故选:AB.本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.12．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（    ）A．双曲线的实轴长为B．双曲线的离心率C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则BCD【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则，所以双曲线的实轴长为，故A错误；，所以，故B正确；设，则，，故C正确；设、，则，两式作差得，所以，，D对.故选：BCD.三、填空题13．已知数列的前项和为，且满足，，则 ____．.【分析】利用求解即可.【详解】当时可得，当时，由，得， 两式做差可得，因为，所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，所以故14．过点与圆相切的直线方程为______.或【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即，要求直线与圆相切，则有，解可得，此时要求直线的方程为：，综上可得：所求直线的方程为：或故答案为或本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．15．过抛物线C：的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为____．32【分析】设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式结合基本不等式可得出四边形面积的最小值．【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程并整理得，所以，，所以，，同理可得，由基本不等式可知，四边形的面积为．当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．四、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．     2     【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由分别与抛物线，与圆的方程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由，解得，∴由，解得，所以由，解得，所以，由抛物线的定义得：∴，∴周长，，.，故2，．五、解答题17．已知各项均为正数的等比数列满足，，数列的前n项和为Sn，且，，N．（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等差数列，并求数列的前n项和Tn．（1）；（2）证明见解析，（1）由和分别表示出等式中的、、和，解方程组求出和，再由等比数列的通。