数学建模之贷款问题.pdf

数学建模 之 贷款问题姓名 1：张昌会学号：201105514 姓名 2：郭娟丽学号：201105534 姓名 3：武申金学号：201105547 专业：统计学班级：统计学 1101 班2013 年 11 月 25 日数学建模题目：贷款问题组员 1：姓名张昌会学号201105514 班级统计 1101 班组员 2：姓名郭娟丽学号201105534 班级统计 1101 班组员 3：姓名武申金学号201105547 班级统计 1101 班摘 要随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是 吃饱、 穿暖， 而是向更高的目标迈进， 房子、车子，自然成了人们渴求的目标 俗话说： “安居才能乐业”，摆在人们面前的问题也就浮于水面同时，从某种 意义上来说， 人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，人类对居所的投资， 直 接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体特别是国家的宏观调控激 活了房地产市场和汽车消费市场，扩大了内需社会传统的房屋卖买方式受到 较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房买车成为新的购房趋势, 并日渐盛行 本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，首先对题目中的条件进行合理的 分析，比较并分析等额本息和等额本金两种贷款方式，一是等额本息贷款 , 计算 原则是银行从每月月供款中， 先收剩余本金利息， 后收本金；二是等额本金贷款 , 计算原则是每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。

推导出 月均还款及累计利息总额的公式，建立数学模型 其次根据给出的银行利率， 利 用 vc++软件和已求出的公式，计算出月均还款额和所花费的利息总额，制成图 表并借以分析贷款的期限与月还款之间的关系 最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议这些天来我们对贷款买房的研 究， 使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这些实用知识对我们的使 我们对这个很现实的问题有了较深的了解，未来发展一定有很大的帮助 关键词 ：贷款，利率，月均还款额，累计利息总额，等额本息，等额本金一、问题的提出随着国家住房商品化及家用轿车商业化政策的推行，于是银行提供了购房贷 款项目及轿车贷款项目， 帮助很多人解决了购房款和购车款的问题人民群众住 房条件改善的同时也带来了不小的问题，极少数居民有能力一次性付清房款，我 国现行主流的两种购房贷款还款方式：等额本息和等额本金 现通过数学模型完成以下任务： 1、 分别给出等额本金还款法和等额本息还款法的月供金额的计算方法 2、 通过具体的数据计算每种贷款方法月供金额和月支付利息 3、 分别计算两种方法在贷款期限内的总还款额和总支付利息 4、 由计算数据分析两种方法的还款特点及规律，并分析适用的人群。

二、模型的假设1、 银行在贷款期利率不变 2、 在这段期间内不考虑经济波动的影响 3、 银行利息按复利计算 4、 客户在还款期内还款能力不变三、模型的参数及说明1、 A：表示贷款总额（本金） ；2、Bi：表示第 i 个月还款本金；3、 ?：表示月利率； 4、 m:表示总期数（还款月数） ；5、Xi：表示第 i 个月的还款额；6、 X：表示等额本息还款法的月供金额7、Qi：表示第i个月还款前所剩贷款额；8、 L：表示总还款金额； 9、 S：表示总支付利息；10、si：表示第 i 个月支付的利息；11、 R: 表示年利率；四、模型的分析银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法在本例中，贷款总额A为 300000 元，年利率 R为 6% ，即 0.06 ，则月利率 r=年利率 /12=0.5%，即 0.005，贷款期数 m为 120 个月，即 10 年 （一）等额本金还款方式 等额本金，即每个月偿还的本金是固定的等额本金还款方式， 即借款人除 了每个月偿还的固定本金之外，每个月还要支付月初剩余本金在本月的利息 每月还款额 = （贷款本金 / 还款月数） +（本金 — 已归还本金累计额） ×每月利率 第i个月月支付利息 =第i个月后所剩余的贷款额×月利率 用数学公式直观的表示如下：第 i 月还款时需还款的本金为： mABii=1,2,3,,,m 第 1 个月应还利息：A第 2 个月应还利息： mAAmAA第 3 个月应还利息： mAAmAA22第 i 个月应还利息： mAiAmAiA)1()1(第 m个月应还利息：mA所以，第 i 个月的月款金额Xi=mAmAiA)1(由上面的推导知，这m个月的利息逐月递减，呈等差数列。

附： 因为首相为a1， 公差为 d 的等差数列，前 n 项和为2/)1(1dnnnaSn则首项为A，公差为 -mA，这 m个月的总支付利息S=2/))(1(* mAmmAm=)2/ )1((mmA=2/)1(mA（二）等额本息还款方式 等额，即每个月的月供金额是固定的，本息=本金总额 +利息总额等额本息 还款方式，即把贷款的本金总额和利息总额加起来，然后均分到每个月 每月的还款金额 =（本金总额 +利息总额） /m ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯各个月所欠银行的贷款：第 1 个月：XAXAA)1(第 2 个月：XXAXA])1 ([])1 ([=XXA)1]()1 ([=)]1(1[2)1 (XA第 3 个月：XXAXA)]}1(1[2{)]}1 (1[2{)1 ()1 (=XXA)1)]}(1(1[2{)1(=]2)1(1 [3)1()1 (XA[ 附：等比数列求和首项为a1，公比为 q，则前 n 项和为aSnn1)1 (1] 第 m个月：)]1(2)1 (1 [)1()1()1(mXmA=] )1 (1)1(*1 [)1()1 (m XmA=]/ )1[()1()1 (mXmA因为第 m个月欠款已全部换完，即为0。

则]/)1[()1 ()1(mXmA=0 所以每个月的月供金额为 X= 1)1()1(mmA累计利息，即 m个月的总支付利息为 S=（X- mA）*m 第 i 个月所还本金为：XmiBi)1()1(第 i 个月所还利息为：XmiSi))1(1()1(五、模型的建立及解我们建立了一个关于等额本金与等额本息的贷款问题模型如下： 模型一： 在满足模型假设的情况下，贷款金额为300000 元，年利率 R为 0.06 ，月利 率?为0.005，贷款期数 m为 120 个月 （一）等额本金还款法⋯ ⋯第 i 月还款时需还款的本金为：mABii=1,2,3,,,m 第 i 个月应还利息： mAiAmAiA) 1()1(第 i 个月的月款金额Xi=mAmAiA)1(总支付利息 S=2/) 1(mA计算得到如下表格： 第 i 个月所还本金Bi（元）所还利息si （元）月供金额Xi（元） 1 2500 1500 4000 2 2500 1487.5 3987.5 3 2500 1475 3975 4 2500 1462.5 2962.5 118 2500 37.5 2537.5 119 2500 25 2525 120 2500 12.5 2512.5 求和300000 90750 390750 由上表画出的多线线图如下：由上述统计数据表及统计图可得到等额本金还款法有以下特点： 等额本金还款，月供金额逐月递减。

月支付利息也是逐月递减的，因此，等⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减 （二）等额本息还款法第 i 个月所还本金为：XmiBi)1()1(第i 个月所还利息为：XmiSi))1(1()1 (每个月的月供金额为 X= 1)1 ()1 (mmA总支付利息为 S=（X-mA）*m 计算得到如下表格：第 i 个月所还本金Bi（元）所还利息si（元）月供金额Xi（元）1 1830.61 1500.00 3330.61 2 1839.77 1490.84 3330.61 3 1848.96 1481.65 3330.61 4 1858.21 1472.40 3330.61 118 3281.15 49.46 3330.61 119 3297.55 33.06 3330.61 120 3314.04 16.57 3330.61 求和300000 99673.8 399673.8 由上表画出的多线线图如下：⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯由上述统计数据表及统计图可得到等额本息还款法有以下特点： 等额本息还款， 月供金额固定 月支付利息逐月递减， 月支付本金逐月递增， 因此，等额本息还款法每月还款额中的本金比重逐月递增，利息比重逐月递减。

比较等额本金还款法和等额本息还款法，得出如下结论： 等额本金还款法相对等额本息而言，总的利息支出较低， 但是前期支付的本 金和利息较多， 还款负担逐月递减 这种方式很适合目前收入较高，但是已经预 计到将来收入会减少的人群 实际上，很多中年以上的人群， 经过一断时间事业 打拼，有一定的经济基础， 考虑到年纪渐长， 收入可能随着退休等其他因素减少， 就可以选择这种方式进行还款 等额本息贷款法相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期 利息占每月供款的大部分， 随本金逐渐返还供款中本金比重增加但该方法每月 的还款额固定， 可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的 收入情况， 确定还贷能力 该方法比较适用于现期收入少，预期收入将稳定或增 加的借款人， 或预算清晰的人士和收入稳定的人士，一般为青年人， 特别是刚开 始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力模型二： 由于模型一是建立在一个没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，例如在 假设还款能力和不考虑经济波动这些方面的理想情况，所以由模型一得出的结果 可能会与实际情况有一定出入 由此我们在考虑还款人在还款期间能够将所剩金额一次还清其他假设均不 变的情况下建立了模型二如下： （一）等额本金还款法 假设贷款人在第 i 个月将所剩金额一次还清，则第i 个月所还金额为：mAimmAiAmAXi)()1(则全部还完后总的还款金额为：2/))(1(mAiiiAALmAiiiAA2)1(（二）等额本息贷款法： 假设贷款人在第 i 个月将所剩金额一次还清，则第i 个月应还款金额为：)]1(.2)1(1[]}1/[]{[] 1/[][)1()1()1()1 ()1()1()1 (immAiAmmAXi]/ ) 1]}[(1/[]{[] 1/[][)1()1 ()1()1 ()1 ()1(immAiAmmA]/ )1[()1 ()1(iXiAX则全部还完后总的还款金额为：]/)1[()1 ()1(iXiAiXL提前还款一次性付清的等额本金和等额本息对比曲线如下：由上图可发现，对于可以在未来的某个月一次性付清的人群来说，可以选择 等额本金还款法， 因为两种还款方式最初性差不大，但是越往后， 等额本金的优 势就越明显。

六、模型的合理性讨论建模时我们人为忽略还贷人可能出现的导致还贷不能进行的特殊情况，例如 市场经济的变动， 个人收入水平的波动， 全球范围的金融危机， 利率调整及经济 波动等干扰事件都有可能导致还款人对自己的还款计划作出调整在出现这些情 况时，模型可能不再适用 但是在还款人收入稳定， 全球经济形势没有大的波动， 或者国家银行的货币政策没有改革的前提下，本模型明确的建立了还贷时间与还 贷金额之间的关系， 能够较准确反映每种还贷方式的特点，在忽略特殊情况的时 候，模型可以用于解释， 说明各还贷方式在实际情况中的运作过程同时本模型 直观的反映出了等额本息和等额本金两种还款方式的利弊，可以供不同收入人群 参考，在我国大的经济市场背景和国家的宏观调控下，我国的贷款政策或银行利 率近期不会变化，因此此种模型符合我国的贷款政策七、模型的改进方向虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重而等额本息还款法是每月还银行相等的金额, 客户的负 担没那么大 , 所以, 银行一般都推荐等额本金还款法等额本金还款，适合目前收入 较高的人群。