天津市汉沽区第六中学高中数学 《数列》习题课（2） 苏教版必修2.doc

天津市汉沽区第六中学数学必修二《数列》习题课（2）课时目标1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式；2．掌握数列求和的几种基本方法．1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.2．等比数列前n项和公式：(1)当q＝1时，Sn＝na1；(2)当q≠1时，Sn＝＝.3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)＝－；(2)＝(－)；(3)＝－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)A．1 B. C. D.答案　B解析　∵an＝＝－，∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为(　　)A．11 B．99 C．120 D．121答案　C解析　∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.3．数列1，2，3，4，…的前n项和为(　　)A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－)答案　A解析　1＋2＋3＋…＋(n＋)＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n2＋n＋2)－.4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是(　　)A．n(n＋2) B.n(n＋4) C.n(n＋5) D.n(n＋7)答案　C解析　a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于(　　)A．0 B．1 C．－1 D．2答案　B解析　S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S17＋S33＋S50＝1.6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于(　　)A．2n－1 B．2n－1－1 C．2n＋1 D．4n－1答案　A解析　由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.二、填空题7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．答案　－68．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.答案　解析　∵an＋1＝，∴＝＋.∴是等差数列且公差d＝.∴＝＋(n－1)×＝＋＝，∴an＝.9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．答案　1 473解析　100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1 683.100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1－S2＝1 683－210＝1 473.10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn (n≥1)，则an＝____________.答案　解析　an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，∴an＋2＝an＋1 (n≥1)．∵a2＝S1＝，∴an＝.三、解答题11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝·＝·，所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝.12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．能力提升13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n答案　A解析　∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln n.又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n.14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．解　当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，∴a－a－2(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.∴an－an－1＝2.∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．。