变化率与导数含知识点试题.docx

第十节变化率与导数、导数的计算☆ ☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1. 了解导数概念的实际背景；2. 理解导数的几何意义；3. 能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f（ax+b）的复合函数）的导数2016，全国卷II, 16,5分（导数的几何 意义）2016，全国卷III, 15,5分（切线方程）2015,全国卷1,21（1）, 5分（切线问 题）2015，全国卷II, 12,5分（切线问题）2014,全国卷II, & 5分（利用导数几 何意义、求参数）1•有关导数的计算较少直接考查，一般出 现在解答题中的某一个环节上，作为解题 工具；2.导数的几何意义考查较多，有时以客观 题形式出现，有时在大题的某一问中出 现微知识小题练自丨主|排|查1. 导数的概念⑴函数y=f(x )在x=xo处的导数 称函数y=f (x)在x=x0处的瞬时变化率lim△ x—0=lim△ x—0f x +△x —f x 0 0△ x为函数y=f(x)在x = x0处的导数，记作f'g)或f x +△x —f 0△ x1 x=x ,0即 f(x) = lim ” =lim0 △ xi △ x △ xf(2)导数的几何意义函数f (x)在点x处的导数f z(x )的几何意义是在曲线y=f (x)上点P(x“, y“)处的切线的0 0 0 0斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。

相应地，切线方程为y—y0=f/(x“).(x(3)函数f (x)的导函数(x) = lim△ x—0f x+A x —f xxx为f(x)的导函数2. 导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)fz(x)=0f (x) =xn(nWQ)fz(x)=nxn—1f (x) =sinxf'(x)=cosxf (x) =cosxfz(x) = —sinxf (x) =axfz(x)=axlnaf (x) =exf'(x)=exf (x) =log xafz(x) =xlnaf (x) =lnxf'(x)」x(2)导数的运算法则① [f(x)土g(x)]'=f'(x)土g'(x)；② [f(x)・ g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；f_gX g X —f x g/[g x 2(g(x)MO)3)复合函数的导数复合函数y = f(g(x))的导数和函数 y = f(u) , u = g(x)的导数间的关系为 yz =Xyz・u ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积u x微点提醒1. 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆。

2. 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后 者包括了前者3•曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差 别小|题|快|练一、 走进教材1. (选修1 —1P73例题改编)在高台跳水运动中，t S时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t ) = —4.912+6.51+10，则运动员的速度v= ，加速度a= 解析】 v=h(t) = —9.81+6.5, a=v'(t)=—9.8答案】 一9.81+6.5 —9.82. (选修1 —1P85习题3.2A组T7改编)f(x)=cosx在点仔，处的切线的倾斜角为 解析】fz(x)=—sinx，切线的斜率k=f 借j = —1，故切线的倾斜角为4盯3【答案】討二、 双基查验1. f'(x)是函数f (x) =|x3+2x+1的导函数，则f ( — 1)的值为()A. 0 B. 37C. 4 D. —3【解析】 Vf(x)=|x3+2x+1，Afz(x)=x2+2o.°.f'( — 1)=3故选 Bo【答案】B2. 如图所示为函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图象，那么y=f(x), y=g(x)的图象可 能是()A.B.C.【解析】 由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在(0,+^)上单调递减，说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+^)上也单调递减，故可排除A, C。

又由图象知y=f'(x)与y=g'(x )的图象在x=xo处相交，说明y=f(x)与y=g(x)的图 象在x=xo处的切线的斜率相同，故可排除B答案】D3. (2017 •盘锦模拟)已知曲线y =2—x与y =X3—X2+2X在x=x处切线的斜率的乘积为1 x 2 03, 则x°的值为()A.—2 B. 21C. 2 D. 1【解析】 由题知y'=x, y'=3X2—2x+2,所以两曲线在x=x处切线的斜率分别为1 X2 2 01 3x2 — 2x +2―,3x2 —2x +2,所以一0 0 =3,解得 x =1故选 DoX2 0 0 X2 00 0【答案】D4. 已知函数f(x)=axlnx, xe(0,+^),其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f'(l)=3,则a的值为.【解析】【答案】因为 f ' (x)=a(1 + lnx)，所以 f ' (1)=a=3o35.已知曲线y=x+lnx在点(1,1 )处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，贝V a=【解析】y/=1+x，则曲线y=x+lnx在点(1,1 )处的切线斜率为k=y'=1 + 1 = 2,x故切线方程为y = 2x — 1 。

因为y = 2x — 1与曲线y = ax2 + (a + 2)x + 1相切，联立 y=2x—1，得 ax2+ax+2 = 0,显然 aMO,所以由 A=a2—8a=0 a=8 、y=ax2+ a+ x+1,乙【答案】8微考点大课堂考占一一n八、、导数的计算多维探究角度一：由函数的解析式求导数【典例1】(1)若 y=x(x汁 ，则 y‘x x(2)若 y=x—sinqcos贝V y'=⑶若 y= Cjx+1)则y/ =⑷若 y=ln(1 —2x),则 yz【解析】(1) •.•y=x(X2+x+xj=x；+1+x—2,, 2 ・・・y =3x2 —2x—3 = 3x2—x；0/、 x x 1(2) Vy=x—sin^cos^=x—^sinx,, 1/.yz=1—^cosx0(3) Vy= (px+1)J 1 , 1 1 , 1—1 丿=1—込+x—1 = —x§+x—匚, 1 11 3 1 ( , 1^•••y =—2x—2—2x—2=—亦 u+x丿⑷设 u = 1 — 2x, y= lnu,则 y= ln(1 —2x)是由 y= lnu 与 u= 1 —2x 复合而成,1 —2 2 所以y = u・u x=(lnu)'・(i—2x)'=u・(—2)=1—X=2X—1。

2 1【答案】(1)3X2—X3 (2)1—©cosx⑶-日+X)⑷為角度二：含有导数值的抽象函数求导问题【典例2】(1)已知函数f (x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=x2 + 3xf ⑵ + lnx，则 f'(2)= 2)已知函数 f (x) =f ［日sinx+cosx，则 f岸■丿= 解析】(1)Tf(x)=X2+3xf(2)+lnx,・・f(x)=2x+f ⑵+x，1 9(2)=4+3f'(2)+2=3f'(2)+2, ⑵二⑵•••f(x)=ff (x) = — (2 + 'j3)sinx+cosx,【答案】9(1)—4 ⑵ T反思归纳含有导数值的抽象函数的求导方法对于含有导数值的抽象函数，求导时将导数值视为常数，利用基本初等函数的导数公式和 运算法则求导即可变式训练】 ⑴设函数f(x)在(0, +-)内可导，且f(ex) = x + ex,贝y f'(l) =(2)已知函数 f(x)=f (J4jcosx+sinx，则 的值为 【解析】 ⑴令ex= t,则x=lnt.f (t) = lnt + tt) =t+l,.°.f'(l)=2解得f=f【答案】(1)2 (2)1考占二-J 八、、 导数的几何意义……多维探究角度一：已知切点的切线方程问题【典例3】(2016 •全国卷III)已知f (x)为偶函数，当xWO时，f(x) =e-x-i—x，则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 。

解析】 当x>0时，—x〈0,则f(—x) =ex-i+x又f (x)为偶函数，所以f(x) =f (—x) =ex-i+x，所以f'(x)=ex-i+1,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线斜率为f'(1)=2, 所以曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x答案】y=2x角度二：未知切点的切线方程问题【典例4】(2016 •全国卷II)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则 b= 解析】 设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x , lnx +2)和(x ,1 1 2 ln(x +1))2则切线分别为 y—lnx’一2=丁仪一x’), y-ln(x2+1) =-+-(x-x2),1 x 1 x化简得 y=?x+lnX] + 1, y=x+yx—x++y+ln(x2+1), 1 2 2 x | 1 21 2丄_ 1丿 X x +1依题意，1 2X、lnx +1 _ 一 + ] x +i x +1 In 2 12解得X]_2, 从而 b_lnx +1_1 — ln21【答案】1一ln2角度三：求参数的值1 7【典例5】已知 f(x)_lnx, g(x) _0X2+mx+2(m〈O)，直线 l 与函数 f (x), g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1, f(1))，则m等于()A. 一1 B. 一3C. 一4 D. 一21【解析】Vfz(x)_,x・•・直线l的斜率为k_f(l)_1。

又f(1)_0,・切线l的方程为y_x—1g'(x)_x+m.设直线l与g(x)的图象的切点为(x°, y0),则有xo+m_1，『十1，1 7y0_2x2+mxo+2, m〈0'于是解得m_-2故选Do【答案】D反思归纳1•注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 y_ f(x)在点P(x , f(x ))处的切线方程是y—f(x)_f'(x)(x—x)；求过某点的切线方程，需先设出切0 0 0 0 0 点坐标，再依据已知点在切线上求解2. 已知斜率k,求切点A(x , f(x )),即解方程f'(x ) _ko0 0 0。