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排列组合复习排列组合复习 1GEC Program主要内容主要内容例题讲解例题讲解组合组合排列排列加法原理加法原理乘法原理乘法原理习题习题2010  06  182基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .1. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,…；； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮基本计数原理基本计数原理 2. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,…；； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + … + nm 种方法种方法 .例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法种方法回答是回答是 乘法原理和加法原理是两个很重要乘法原理和加法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础 .3、排列：、排列：一般地，从一般地，从n个不同的元素中任取出个不同的元素中任取出m个个（（m≤≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列。

个元素的一个排列由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作                   8GEC Program排列数公式排列数公式: 从从n个不同元素取个不同元素取 m个个（（1 m n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：m = n时称全排列时称全排列ABDC例如：例如：n=4, m =3第第1次选取次选取第第2次选取次选取第第3次选取次选取BDCBCDBDC……4、组合：、组合：一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个（（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。

从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作      11GEC Program组合数公式组合数公式: 从从n个不同元素取个不同元素取 m个个（（1 m n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：你能证明吗？你能证明吗？ 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 可以分两步求得：　　第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有 种方法；　　 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 种排法.　　故由乘法原理得到：　 = ·　　 因此　　              　　 这就是组合数公式.13GEC Program5、例题讲解例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）   分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．解：由排列数公式，共可能有：　　　        =4×3×2=24              种不同的拍照情况．14GEC Program例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？   分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．   解：由全排列公式，共有　　     　=4×3×2×1=24           种不同的站法．15GEC Program例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛？     分析：因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题。

解： 由组合数公式知，共需进行　　         =12×11÷2=66          场比赛16GEC Program例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343种不同的选法.　　    要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有P342种不同的站法. 解： 由组合数公式，共有　   　  = 42×41×40÷3÷2=11480　　种不同的选法；　　由排列数公式，共有　　 ＝42×41×40＝68880　　种不同的站法.17GEC Program例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？      分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有       种不同的选法.　　         要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有      种不同的站法. 解： 由组合数公式，共有   　   　  = 42×41×40÷3÷2=11480　　种不同的选法；　　由排列数公式，共有　　 ＝42×41×40＝68880　　种不同的站法.18GEC Program6、习题19GEC Program20GEC Program21GEC Program习题答案22GEC Program23GEC Program。