辽宁省名校2024-2025学年高一上学期10月联合考试数学试卷(含答案).docx

辽宁省名校2024-2025学年高一上学期10月联合考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合,集合,则( )A.N B. C. D.2．设a,,则“且”是“”的( ).A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．如果实数集R的子集X满足：任意开区间都含有X中的元素,则称X在R中稠密.若R的子集X在R中不稠密,则( )A.任意开区间都不含有X中的元素 B.存在开区间不含有X中的元素C.任意开区间都含有X的补集中的元素 D.存在开区间含有X的补集中的元素4．《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.现有如下图形:AB是半圆O的直径,点D在半圆周上,于点C,设,,直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为( )A. B.C. D.5．一群学生参加数学、物理学科夏令营,每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试,47名学生参加了物理考试,学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍,则这一群学生总人数为( )A.66 B.87 C.99 D.前三个答案都不对6．设有限集M所含元素的个数用表示,并规定.已知集合A,B满足,,若,,则满足条件的所有不同集合A的个数为( )A.3 B.6 C.10 D.647．设,若恒成立,则的最小值是( )A.0 B. C.1 D.28．若关于x的方程有四个不同的实数解,则k的取值范围为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．下列关系正确的是( )A. B.C. D.10．若a,,且,则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.11．设,,,则( )A.ab的最小值为4B.的取值范围是C.的最小值为D.若,则的最小值为15三、填空题12．若,则________.13．已知二次函数,甲同学:的解集为;乙同学:的解集为;丙同学:此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中,只有一个论述是错误的,则a的取值范围是________.14．定义为数集M中最大的数,已知,若或,则的最小值为________.四、解答题15．《九章算术》第八章“方程”问题九:今有五雀、六燕,集称之衡①,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处②,衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?大意是:今有5只雀、6只燕,分别聚集用衡器称之,聚在一起的雀重,燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放,重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤?①集称之衡:集中在一起用衡器称;②交而处:交换位置放;③衡适平:重量恰好相等.（1）设每只雀重n斤,每只燕重m斤,请列方程组求解这个问题;（2）在（1）的条件下,设集合,,若Ü,求p的取值范围.16．（1）证明:;（2）已知,,且,求证:.17．设矩形ABCD（其中）的周长为24,如图所示,把它沿对角线AC对折后,AB交CD于点P.（1）证明:的周长为定值;（2）设,且记的面积为.求当x为何值时,取得最大值,并求出最大值.18．已知.（1）当时,方程的两根分别为,,若存在x,使成立,求m的取值范围;（2）若,求不等式的解集.19．对于题目:已知,,且,求的最小值.同学甲的解法:因为,,所以,,所以,,,所以A的最小值为.同学乙的解法:因为,,所以,当且仅当,即时等号成立,所以A的最小值为3.（1）请对两位同学计算结果的正确性作出评价（需指明错误原因）;（2）为巩固学习效果,老师布置了另外一道题,请你解决:已知,,且.（i）求的最小值;（ii）求的最小值.参考答案1．答案：C解析：因为集合,集合,所以.故选:C.2．答案：A解析：若且,则,即充分性成立;若,例如,满足,但不满足且,即必要性不成立;综上所述:“且”是“”的充分不必要条件.故选:A.3．答案：B解析：命题“任意开区间都含有X中的元素”的否定是“存在开区间不含有X中的元素”.故选：B.4．答案：D解析：是半圆的半径,为圆的直径,,由射影定理可知,,,在中,,,当O与C重合时,,所以,故选D.5．答案：A解析：设只参加了数学、物理考试的学生人数分别为x,y,参加了两门学科考试的学生人数为z,根据题意得解得,所以学生总人数为.故选:A.6．答案：C解析：若时,,则,则,这与题意矛盾,故不满足题意;故.设A中元素的个数为,则B中元素的个数为,且,由且,得,.①当时,则,又,所以,满足题意;②当时,则,,则,,又,若,则;若,则;若,则;若,则;以上情况都满足题意;③当时,即,则,,但此时,故产生矛盾,所以不满足题意;④当时,则由且,得,,又,与②同理可得不同集合B的个数有4个,即不同集合A的个数有4个;⑤当时,则由,得,又,所以,满足题意;综上,满足条件的所有不同集合A的个数为.故选:C.7．答案：B解析：由恒成立,可得与符号同时变化,即,且,则有,故的最小值为.故选:B.8．答案：C解析：因为有四个实数解,显然,是方程的一个解,下面只考虑时有三个实数解即可.若,原方程等价于,显然,则.要使该方程有解,必须,则,此时,方程有且必有一解;所以当时必须有两解,当时,原方程等价于,即(且),要使该方程有两解,必须,所以.所以实数k的取值范围为.故选:C.9．答案：AC解析：A项,是实数,即,A正确;B项,,B错误;C项,是无理数,所以,C正确;D项,不是的元素,D错误.故选:AC.10．答案：ACD解析：由已知可得,对于A项,,所以,由及不等式性质得,故A成立.对于B项,,因为,所以,当时,,即,故B项不一定成立.对于C项,当时,,所以;当时,成立,故C项一定成立.对于D项,由,,得,所以,故D项一定成立.故选:ACD11．答案：ABD解析：对于A项,由,,,得,所以,当且仅当时等号成立,A项正确;对于B项,由,,,得,所以,当且仅当,即,时等号成立,B项正确;对于C项,,当且仅当,即时取等号,又,所以等号取不到,C项错误;对于D项,由,当且仅当时等号成立,又,当且仅当时等号成立,D项正确.故选:ABD.12．答案：0解析：因为,所以①当时,即,此时,不符合元素互异性;②当时,即或（舍）.综上,.故答案为:013．答案：解析：由题意,.若甲正确,则且,即,则;若乙正确,则且,即,则;若丙正确,则由二次函数的对称轴为,得,所以.若,则乙丙两人论述错误,不满足题意;若,则甲乙两人论述错误;若,则乙丙两人论述正确,只有甲一人论述错误,满足题意.综上所述,,即a的取值范围是.故答案为:.14．答案：解析：解法一:令,,,其中m,n,,所以,若,则,可得,令,则,所以,则,当且仅当,,时等号成立.若,则,即,令,则,所以,则,当且仅当,,时等号成立,综上可得,的最小值为.解法二:根据数轴上点的距离公式,可得,,分别为线段AB,BC,CD的长,如图所示,若点A固定,即求三个线段中最长线段的长的最小值,可知当三个线段等长时,最长的线段长取最小值,不妨设为x,OA的长为y,则,即,若,则,即,解得;若,则,即,解得,因为,所以的最小值为.故答案为:.15．答案：（1）每只燕重斤,每只雀重斤（2）解析：（1）根据题意,可列方程组为解得所以每只燕重斤,每只雀重斤.（2）由（1）可得集合,因为,①当时,,解得;②当时,即且且等号不同时成立,解得所以.综上,p的取值范围是.16．答案：（1）证明见解析;（2）证明见解析解析：证明:（1）解法一（反证法）:假设,即,两边平方得,即,即,这与矛盾,因此假设不成立,故.解法二（分析法）:要证,只需证,因为,,所以只需证,即证,即证,因为成立,所以成立.解法三（综合法）:,,因为,所以.（2）由题意知,,,故.17．答案：（1）证明见解析（2）时,.解析：（1）由题意可知,,,,所以,所以,所以,所以的周长为定值.（2）在中,因为,所以,解得,所以,因为,所以,,当且仅当时,等号成立,所以面积的最大值为.18．答案：（1）（2）答案见解析解析：（1）由题意知,方程的两根分别为,,则,,所以,因为,所以,根据绝对值的几何意义,可得,当且仅当时,等号成立,又因为存在x,使成立,可得,解得,所以m的取值范围为.（2）若,不等式等价于,①当时,不等式的解集为;②当时,不等式的解集为;③当时,不等式的解集为或;④当时,不等式的解集为R;⑤当时,不等式的解集为.19．答案：（1）同学甲结果错误,同学乙结果正确,原因见解析（2）（i）;（ii）解析：（1）同学甲结果错误,同学乙结果正确.甲同学连续两次运用基本不等式,取等号的条件分别为,,又,所以不能同时取等号,即最小值是取不到的.（2）已知,,且.（i）,当且仅当,即,时等号成立.（ii）,当且仅当,即,时等号成立.。