新教材人教A版数学必修第一册学案-4.1.1-n次方根与分数指数幂-含答案.docx

第四章　指数函数与对数函数4．1　指数最新课程标准1.通过对有理数指幂amn (a＞0，且a≠1，m，n为整数，且n＞0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．2．掌握指数幂的运算性质．学科核心素养1.了解根式及其性质．(数学抽象、数学运算)2．了解分数指数幂的意义．(数学抽象)3．了解无理数指数幂．(数学抽象)4．能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算．(数学运算)4．1.1　n次方根与分数指数幂教材要点要点一　根式及相关概念1．a的n次方根定义一般地，如果________，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数________a∈Rn为偶数________________3.根式：式子__________叫做根式，n叫做__________，a叫做__________．状元随笔　(1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn ＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.(2)n次方根实际上就是平方根与立方根的推广．(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．要点二　根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据(1)________没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作n0＝________．(3)(na)n＝________(n∈N*，且n＞1).(4)nan＝a(n为大于1的奇数).(5) nan＝|a|＝(n为大于1的偶数).状元随笔　nan与(na)n的区别(1) nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，nan ＝a；当n为偶数时，nan ＝|a |＝(2) (na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.要点三　分数指数幂分数指数幂正分数指数幂规定：amn＝nam (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1nam (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)性质0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂__________状元随笔　分数指数幂是根式的一种表示形式，即amn＝nam，分数指数不能随意约分，如(-3)24约分后为(-3)12＝-3，而-3在实数范围内是无意义的．要点四　有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实数a的奇次方根只有一个．(　　)(2)当n∈N*时，(n-2）n＝－2.(　　)(3) (na)n中实数a的取值范围是任意实数．(　　)(4)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12 2．下列各式正确的是(　　)A．(-3)2＝－3 B．4a4＝aC．(3-2)3＝－2 D．3(-2)3＝23．将根式5a-3化为分数指数幂是(　　)A．　a-35 　 　B．a35 C．－a35　 　 　D．－a534. (81625)-14的值是________．题型1　根式的化简与求值例1　(1)化简3a3＋4(1-a)4的结果是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1 B．2a－1C．1或2a－1 D．0(2)计算下列各式①5(-2)5＋(5(-2))5；②6(-2)6＋(62)6；③ 3+22＋3-22.方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪训练1　(1)下列各式正确的是(　　)A．8a8＝a B．a0＝1C．4(-4)4＝－4 D．5(-5)5＝－5(2)计算下列各式：①6(3-π)6＝________．②614－3338－30.125＝________．题型2　根式与分数指数幂的互化例2　(1)将分数指数幂a-34(a＞0)化为根式为________．(2)化简：(a2·5a3)÷(a·10a9)＝________．(用分数指数幂表示)(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．① a3·3a2.② a-4∙b23ab2 (a＞0，b＞0).方法归纳根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数←分数指数的分母，被开方数(式)的指数←分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．特别提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．跟踪训练2　下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)A．－x＝(-x)12(x＞0) B．6y2＝y13 (y＜0)C．x-34＝4(1x)3 (x＞0) D．x-13＝－3x (x≠0)题型3　指数幂的化简与求值例3　(1)化简：①a23b12·(－3a12b13)÷ (13a16b56)；②(m14n-38)8；③(3a2－a3)÷4a2.(2)求值：①(235)0＋2－2×(214)-12－0.010.5；②0.064-13－(-78)0＋[(-2)3]-43＋16－0.75＋-0.0112方法归纳利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．跟踪训练3　(1)计算：(－1.8)0＋(32)-2·3(338)2－10.01＋93；(2)化简：(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c).易错辨析　忽视根式中的变量条件致误例4　式子a-1a经过计算可得(　　)A．-a B．aC．－a D．－-a解析：因为 -1a成立，所以a＜0，所以a-1a＝a-aa2＝aa-a＝－-a.故选D.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视a＜0这一条件，易错选A.把一个完全平方式从二次根号内开方出来之后，要先加上绝对值号，再根据条件或分类讨论去掉绝对值符号得出最终结果．课堂十分钟1．将3-22化为分数指数幂，其形式是(　　)A． 212 B．－212C．2-12 D．－2-122．已知m＜23，则化简4(3m-2)2的结果为(　　)A．3m-2 B．－3m-2C．2-3m D．－2-3m3．若2＜a＜3，化简(2-a)2＋4(3-a)4的结果是(　　)A．5－2a B．2a－5C．1 D．－14．计算(278)23＝________．5．计算：0.001-14＋2723－（4964）-12＋(19)-1.5第四章　指数函数与对数函数4．1　指数4．1.1　n次方根与分数指数幂新知初探·课前预习要点一1．xn＝a2. na　±na　(0，＋∞) 3. na　根指数　被开方数要点二(1)负数　(2)0　(3)a　(5)a　－a要点三0　无意义[基础自测]1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．答案：C3．答案：A4．答案：53题型探究·课堂解透例1　解析：(1)原式＝a＋|1－a|＝故选C.(2)①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.②原式＝|－2|＋2＝4.③原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2答案：(1)C　(2)见解析跟踪训练1　解析：(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.(2)①＝＝π－3.② －－＝－－＝－－＝.答案：(1)D　(2)①π－3　②12例2　解析：(1)a－＝＝(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a(3)①a3·＝a3·a＝a3＋＝a.答案：(1)14a3　(2)a65　(3)①a113②a-116∙b43跟踪训练2　解析：－x＝－x12 (x>0)；6y2＝(y2)16＝－y13 (y<0)；x-34＝(x-3)14＝4(1x)3(x>0)；x-13＝(1x)13 =31x(x≠0).答案：C例3　解析：(1)①原式＝×a23+12-16b12+13-56＝－9a.②(m14n-38)8＝(m14)8(n-38)8＝m2n－3＝m2n3；③ (3a2－a3)÷4a2＝(a23-a32)÷a12＝a23÷a12－a32÷a12＝a23-12－a32-12＝a16－a＝6a－a.(2)①原式＝1＋14×(49)12－(1100)12＝1＋16－110＝1615；②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.跟踪训练3　解析：(1)原式＝1＋(23)2·(278)23－10＋932＝1＋(23)2·(32)2－10＋27＝29－10＝19.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－a3c.答案：(1)19　(2) －a3c[课堂十分钟]1．答案：B2．答案：C3．答案：C4．答案：945．解析：原式＝－＋－2×＋2×|－1.5|＝0.1－1＋32－－1＋－3＝10＋9－＋27＝.。