2022年高考数学一轮复习考点规范练23解三角形含解析新人教A版2.docx

考点规范练23　解三角形基础巩固1.在△ABC中,c=3,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为(　　)A.π4 B.πC.2π D.4π答案:B解析:在△ABC中,c=3,A=75°,B=45°,故C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=(　　)A.12 B.1 C.3 D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=3,则b等于(　　)A.13 B.4 C.3 D.15答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∴cosB=12,∴B=π3.又S=12ac·sinB=12×1×c×32=3,∴c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12=13,∴b=13.4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=(　　)A.6 B.5C.4 D.3答案:A解析:由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cosA=b2+c2-a22bc,∴c2-4c22bc=-14,∴-3c2b=-14,∴bc=32×4=6,故选A.5.设△ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是(　　)A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案:D解析:∵△ABC的三内角A,B,C成等差数列,∴B=π3.∵sinA,sinB,sinC成等比数列,∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3,∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.∴△ABC为等边三角形.6.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)A.30° B.45°C.60° D.75°答案:B解析:依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(305)2+(2010)2-5022×305×2010=600060002=22,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)A.43 B.23 C.2 D.3答案:A解析:∵在△ABC中,2a-cb=cosCcosB,∴(2a-c)cosB=bcosC.∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∴cosB=12,即B=π3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=12acsinB=34ac≤43,故选A.8.(2021全国Ⅰ,文15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　. 答案:22解析:由题意可知△ABC的面积S=12acsin60°=3,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=22.9.在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=　　　　　. 答案:6解析:由题意及正弦定理,可知ABsin∠ADB=ADsinB,即2sin∠ADB=332,故∠ADB=45°.所以12A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=22sin60°=6.10.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米,A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为　　　　　米. 答案:1406解析:由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC,即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,由正弦定理得CHsin∠CAH=ACsin∠AHC,可得CH=AC·sin∠CAHsin∠AHC=1406(米).11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2π2+A+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.答案:(1)解由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,cosA=12.由于00,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,即sinC=12,所以C=π6,故选B.14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　　. 答案:233解析:由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,设△ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=8>0,所以cosA>0,0A,∴B=π3或2π3,∴C=π2或π6.8。