ch173方向导数与梯度.ppt

1,,第17章,第3节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,2,引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热到冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．,一、方向导数,在一些实际问题中，需要研究函数,在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数3,,,,若函数,则称此极限,为函数在点 P0 处沿方向 l 的方向导数.记作,在点,的某邻域,表示P与P0的距离,若存在下列极限:,,内有定义, l为从点,出发的射线,,为l上且含于,内的任意一点.,定义:,4,,,,,,,,注意,若l的方向角为,记,则,5,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,,得,故,,6,对于二元函数,向角为,  ) 的方向导数为,特别:,• 当 l 与 x 轴同向,• 当 l 与 x 轴反向,,7,方向导数存在,,• 可微,反例见教材P126例2,8,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,,9,指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,例2. 函数,提示:,则,,,,10,二、梯度,方向导数公式,令向量,,这说明,方向：f 变化率(即方向导数)最大的方向,模 : f 变化率的最大值,方向导数取最大值：,,,,,,,设函数,在点,可微,其沿着不同方向,的方向导数是不同的，,11,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),,在点,处的梯度,,注意:,函数沿某方向的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,12,2. 梯度的基本运算公式,13,例1.,函数,在点,处的梯度,,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,,14,例2： 求函数,在点M（1，0，－1）,处的最大方向导数。

解：,在点M（1，0，－1）,处的最大方向导数为：,同理,15,解,由梯度计算公式得,故,例3,16,例4.,证:,,试证,,,17,内容小结,1. 方向导数,• 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为,• 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,18,2. 梯度,• 三元函数,在点,处的梯度为,• 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,,偏导数存在,•,• 可微,,19,P127 1, 2，3，4.,作业,20,例3. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,切线朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,,,,21,例4. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,,,,,。