线性代数习题及答案(复旦版)1.doc

线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)…321； (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.【解】(1) τ(341782659)=11;(2) τ(987654321)=36;(3) τ(n(n-1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n-1)=;(4) τ(13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2)=0+1+…+(n-1)+(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1).2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式的展开式中包含和的项.解： 设 ，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有展开式中含项有.5. 用定义计算下列各行列式.(1)； (2).【解】(1) D=(-1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.6. 计算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 证明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故(4) 对D2n按第一行展开，得据此递推下去，可得(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：但由归纳假设从而有8. 计算下列n阶行列式.(1) (2) ；(3). (4)其中 ；(5).【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得(2) 按第二行展开(3) 行列式按第一列展开后，得(4)由题意，知 .(5) . 即有 由 得 .9. 计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得将第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 计算阶行列式（其中）..【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11. 已知4阶行列式;试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.【解】同理 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) (2) 【解】方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解，为13. λ和μ为何值时，齐次方程组有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即故或时，方程组有非零解.14. 问：齐次线性方程组有非零解时，a,b必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足即(a+1)2=4b.15. 求三次多项式，使得【解】根据题意，得这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于故得于是所求的多项式为16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax+by+c=0 (a,b不同时为0)按题设有则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）； （2）　；（3）　； （4）　；（5） ； （6）　.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .2.　 设，，求(1);(2) ；(3) 吗?【解】(1) (2) (3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A-B)≠A2-B2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若， 则； (2) 若， 则或；(3) 若，， 则.【解】(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0(2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E(3) 令则AX=AY,但X≠Y.4.　设, 求A2，A3，…，Ak.【解】5.　 ，　求并证明：.【解】今归纳假设那么所以，对于一切自然数k,都有6. 已知，其中求及.【解】因为|P|= -1≠0,故由AP=PB,得而7. 设，求||. 解：由已知条件，的伴随矩阵为又因为，所以有，且，即 于是有 .8.　已知线性变换利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知从而由到的线性变换为9.　 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB,故也为对称阵.10.　设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.则 AB=(AB)′=B′A′=BA,反之，因AB=BA,则(AB)′=B′A′=BA=AB,所以，AB为对称阵.11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1) B2是对称矩阵.(2) AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】因A′=A,B′= -B,故(B2)′=B′·B′= -B·(-B)=B2;(AB-BA)′=(AB)′-(BA)′=B′A′-A′B′= -BA-A·(-B)=AB-BA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′= -BA+A·(-B)= -(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由=,得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.14.　求下列矩阵的逆矩阵.(1) ； (2) ；(3)； (4)　；(5)　； (6)　，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) .15. 利用逆矩阵，解线性方程组【解】因,而故16. 证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)-1.【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *.∵ |A|≠0,|B|≠0,∴ (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,从而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是A* (A-1) *=|A|A-1·|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因AA′=E，故A可逆且A-1=A′.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A′) *=(A*)′.17.　已知线性变换求从变量到变量的线性变换.【解】已知且|A|=1≠0,故A可逆，因而所以从变量到变量的线性变换为18.　解下列矩阵方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A=;B=.由于故原方程的惟一解为同理(2) X=; (3) X=; (4) X=19. 若 (k为正整数)，证明：.【证明】作乘法从而E-A可逆，且20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1.【证】因为A2-A-2E=0,故由此可知，A可逆，且同样地由此知，A+2E可逆，且21. 设，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故22.　 设.　其中，， 求.【解】因可逆，且故由得23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.(1)， 证明，；(2) 设， 证明，.【证明】(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设那么所以，对一切自然数k，都有而(2) 由(1)与A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又24. ，证明矩阵满足方程.【证明】将A代入式子得故A满足方程.25. 设阶方阵的伴随矩阵为，证明：(1) 若｜｜＝０，则｜｜＝０；(2) .【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得|A|| A*|=|A|n,若|A|≠0，则| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.26.　设.求(1) ; (2); (3) ；(4)｜｜k (为正整数).【解】(1); (2) ;(3) ; (4).27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）； （2）;（3）.【解】(1) 对A做如下分块 其中的逆矩阵分别为所以A可逆，且同理(2)(3) 习题 三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.，证明向量组线性相关.【证明】因为所以向量组线性相关.6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里【证明】 设向量组线。