关于圆的滚动问题的探讨_数学_初中教育_教育专区.doc
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关于圆的滚动问题的探讨在北师大版九年级数学（下） 《圆》一章有这样道题目：如图（1）：取两枚同样大小的硬币，将其中一枚固定在桌子上，另一枚沿着固定硬币边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？要明确的解决该问题，首先我们应从是下面这个简单问题入手：如图（2）：一枚直径为 d 的硬币沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？分析：硬币在滚动的整个过程中，始终与直线相切，即：图示中的圆于直线相切，从而 AM,BN 分别与直线垂直，易知 AM，BN互相平行且相等， 所以四边形 AMNB 为矩形，因为 MN 是硬币滚动一周的长度，于是圆心经过的距离等于 MN 的长度，即：硬币的周长 d结论：圆心经过的路径是一条和桌面平行的一条线段，硬币沿直线滚动一周，圆心经过的路径等于硬币的周长；反之，若滚动过程中，圆心经过的路径长度等于硬币的周长，那么硬币恰好滚动一周需要说明的是，圆即便在曲线上滚动上述结论显然也是成立的明白了上面的结论，我们将会很轻松地计算出圆在滚动过程中，自身转动的圈数问题接下来，让我们来看一个更一般的问题：如图（3）：⊙A 半径为 ，⊙B 半径为 ，若⊙A 不动，⊙B1r2r绕⊙A 无滑动滚动一周，⊙B 自身转动多少圈呢？我们可以这样来思考：该问题可以看作⊙B 在一曲线（⊙A 的圆周上）滚动，如图（5）所示。
当⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周时，其圆心经过的路径恰为以 A 圆心， （ + ）为半径的圆；那么，圆1r2r心 B 经过的路径长是 2 （ + ） ，有上面结论，⊙B 自身转动的总1r2r长度应与圆心 B 经过的长度保持相等，设⊙B 转动了 n 圈，应有下面式子成立：2·n=2 （ + ）于是 n=2r1r2r122rr r我们回到文章开头的引例，由于两枚硬币半径一样长，我们可得 n==2,即滚动的硬币自身转动了两圈111rr r估计直到现在，有些读者可能心中仍然还存在疑惑，理论上我们已解决了文章开头提出的问题：当等大的硬币绕固定硬币的边缘滚动一周，滚动的硬币自身转动了 2 圈，用实物操作亦是如此，但心理上总是不能接受，因为，两枚硬币周长一样，当硬币 B“吻”遍硬币 A 一周时，硬币 B 也被硬币 A “吻”遍了一周，硬币 B 不是转了一圈么？为何实际情况却是两圈呢？其实，我们应这样理解：⊙B 行走的路径不是一条直线，而是一条曲线（圆） ，⊙B 上各点同一时刻进行着两种运动：①绕点 A 转动，②绕点 B 转动这有点像地球，当它绕太阳旋转时，本身也在自转正是这样的原因，硬币 B 转的不是 1 圈，而是 2 圈。
⊙B 上各点与点 A 的距离随着⊙B 的转动而不断变化，给我们研究问题带来了很大不便，这也是我们为何选点 B 来解决该问题最重要的原因通过上面的讨论，不知你是否已清楚解决圆转动过程中的圈数问题的基本思路请看下面几个典型题目：例 1 ⊙Ｏ的半径为Ｒ， ⊙ ⊙半径均为ｒ，⊙与⊙Ｏ1O2O1O内切，沿⊙Ｏ内侧滚动ｍ圈后，回到原来位置，⊙和⊙Ｏ外切，2O并沿⊙Ｏ外侧滚动ｎ圈后，回到原来位置，则ｍ，ｎ大小关系是（ ）Ａ、 ｍ＞ｎ Ｂ、 ｍ＝ｎ Ｃ、 ｍ＜ ｎ Ｄ、 无法确定解：⊙绕⊙Ｏ滚动一周，圆心经过的路径长为：2O2O２ （Ｒ＋ｒ） ，于是⊙转了：ｎ＝＝＝＋１（圈）2O2 () 2Rr r Rr rR r同理⊙转了；ｍ＝＝＝－１（圈） ，所以选Ｃ1O2 () 2Rr r Rr rR r例２ 一个等边三角形的边长与和它一边相切的圆周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形三遍作无滑动滚动，直至回 到原出发位置时，问该圆转动了几圈？分析：只要计算出圆心经过的路径的总长度，除以该圆周长便可算出转动的圈数如图（６）所示，⊙在ＡＢ边上与之相切，1OＡ为切点，绕Ａ转到ＡＣ边上时，与ＡＣ相切，Ａ仍为切点，此时，圆心经过的是，因 ∠Ａ＝—2×—=12OO1O2O03600900600120观察图形，不难看出圆心在三个顶点处经过的三段弧恰是等弧，从而，圆心经过的总路径长=3AB+3×=3AB+AB=4AB，于1120 180O A是，当圆回到出发位置时，共转了 4 圈。
聪明的你请思考下面问题：物理课上老是为同学们演示了一个实验：如图（7）,在“V”字形轨道 ABC 上滚动一个半径为 10cm 的圆盘，其中轨道 AB 与 BC夹角为，AB=60cm，BC=40cm，将圆盘无滑动地从点 A 滚动到0120点 C，圆转动了几圈？略解：当圆盘从 A 沿水平滚动到顶端时，恰与 AB、BC 同时相切，设切点为 D，E.连接 OB，知可求得2RORt１ＤＢｔＯＥＢBD=EB==２ ０ＯＤ ｔａｎ６０１０１０３＝３３于是１２２３１０３ＯＯ＋ＯＯ＝６０＋４０－２３２０３＝１００－３那么圆滚动了（圈）２０３１００－１５－３３＝２１０３注意：圆在滚动中，弧 DE 这一段并没滚动，在计算滚动圈数时不应算在内如图：水平地面上有一面积为 30的扇形 AOB，半径２ｃｍOA=6cm,且ＯＡ与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动ＯＢ与地面垂直为止，则Ｏ点移动的距离为多少？。
