考研高数讲义.doc

第一讲 极限与持续一、重要的概念1．极限定义（1）数列极限定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为数列的极限，记2）自变量趋于无穷时函数极限的定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记3）自变量趋于有限值时函数极限的定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记4）左右极限的定义—：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的左极限，记若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的右极限，记注解：存在都存在且相等2．无穷小（1）无穷小的定义—以零为极限的函数称为无穷小2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设，若，称是的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为3）无穷小的性质1）有限个无穷小之和还是无穷小；2）无穷小与有界函数之积还是无穷小；3）无穷小与常数之积还是无穷小；4）有限个无穷小之积还是无穷小；5）的充足必要条件是，其中；6）；7），且存在，则也存在且4）时常用的等价无穷小1）；2）（）；3）；4）3．持续（1）若，称在点处持续；（2）若在区间内点点持续，且，称在区间上持续，记为。

4．间断点的分类设在处间断，则（1）若都存在，则称为函数的第一类间断点，更进一步，1）若，称为的可去间断点；2）若，称为的跳跃间断点2）若至少有一种不存在，称为函数的第二类间断点二、重要定理（一）极限定理1．极限存在必唯一性定理—极限存在必唯一（需掌握证明）2．数列极限的有界性定理—若，则存在，对一切的，有需掌握证明）3．夹逼定理—设，且，则（对数列有同样的定理）需掌握证明）二）闭区间上持续函数的性质1．最值定理—设，则在区间上取到最大和最小值2．有界定理—设，则存在，使得3．零点定理—设，且，则存在，使得4．介值定理（1）设，对任意（其中为在上的最小值和最大值），存在，使得2）设，且（不妨设），对任意，存在，使得三、重要极限1．； 2．四、常用的马克劳林公式（1）五、常用题型（一）求极限注解：求极限的措施措施一：重要极限措施二：极限存在准则措施三：等价无穷小措施四：马克劳林公式措施五：罗必达法则措施六：中值定理措施七：定积分1．解答：，而，因此，于是3．设二阶持续可导，，求4．设在的邻域内可导，且，求5．设，当时，，证明数列收敛并求其极限解答：令，由于，因此单调。

又由于，因此数列有界，从而数列收敛，令，则有6．解答：解答：，由于，，因此解答：，由及，得，从而，于是13．求常数，使得14．设，求的间断点并指出其类型解答：一方面，另一方面的间断点为，由于，所觉得函数的第一类间断点中的可去间断点，为函数的第二类间断点15．设在上持续，任取（），任取（），证明：存在，使得第二讲 一元函数微分学一、重要的概念1．导数—设的定义域为，，记，若存在，称在点处可导，其极限称为函数在点处的导数，记为或2．左、右导数—若存在，称在处右可导，记为；若存在，称在处左可导，记为，函数在处可导的充足必要条件是其左右导数都存在且相等注解：导数的其她定义（1）；（2）；（3）2．可微—设在的邻域内有定义，若，称在处可微，其中称为函数在处的微分，记为，习惯上记为二、重要的定理1．若函数可导，则函数一定持续2．可导与可微等价3．四个中值定理（1）罗尔中值定理—（2）拉格郎日中值定理（3）柯西中值定理（4）泰勒中值定理三、重要公式（一）基本求导公式（二）四则求导法则（三）复合函数链式求导法则四、一元函数微分学的应用（一）单调性与极值（二）最值（三）凹凸性（四）弧微分、曲率与曲率圆1．弧微分（1）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则。

2．曲线的的曲率 ； 3．曲线的曲率半径为；4．曲率圆（1）定义—设函数在处有二阶导数，且，记为曲线上相应于的点，若圆在点满足：与曲线相切；与曲线有相似的凹凸方向；与曲线在点处有相似的曲率半径，称圆为曲线在点处的曲率圆2）曲率圆的中心曲率圆中心必在曲线在处的法线上，因此有例子1．求曲线在点处的曲率圆解答：，则曲线在点的曲率半径为，曲率中心为，所求的曲率圆为2．求曲线上相应于参数的点处的曲率圆解答：相应的点为则，曲线在点处的曲率半径为，曲率中心为，所求的曲率圆为五）渐近线五、常用的题型1．设在处可导，求2．设持续，且对任意的有，求3．，求4．设二阶可导，且，求5．设，若在处可导，求6．，求7．，求8．设，求并讨论在处的持续性9．设持续，，且，求，并讨论在处的持续性10．，求11．设持续，且，求12．设拟定函数，求13．设，求14．是的反函数，可导，且，求15．选择题（1）设，则下列对的的是 （ ）是的极大值； 是的极大值； 是的极小值； 是的拐点2）设在处二阶可导，且，则 （ ）（A）是的极大值. （B）是的极小值. （C）是曲线的拐点. （D）不是的极值点，也不是曲线的拐点.（3）设二阶持续可导，且，则（ ）是的极小值； 是的极大值；是曲线的拐点； 是的驻点但不是极值点。

16．设在上持续，，又，证明：存在，使得解答：由于，因此同号，不妨假设，由，存在，使得；由，存在，使得，令，由于，因此有零点定理，存在介于与之间（），使得，即17．设函数在区间上持续，在内可导，且，，证明：存在，使得18．设，证明：存在，使得19．设在上持续，在内可导，且，证明：存在，使得 20．设在上持续，在内可导，且证明：存在，使得21．设在上持续，在内可导，，证明：存在，使得 22．设在上持续，内二阶可导，且，证明：（１）存在，使得；（２）存在，使得23．设，且证明：存在，使得24．一质点从时间开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不不不小于425．设在上有四阶持续的导数，且存在1）写出的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（2）证明：存在，使得 26．设在上满足，且在内取到最小值，证明： 27．设，证明：存在，使得28．设在上二阶可导，，，证明对对任意的，有29．设在上二阶可导，且，其中都是非负常数，为内任意一点1）写出在处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；（2）证明：。

1996年真题预测）30．设函数在上二阶可导，且证明：存在，使得解答：由泰勒公式，得，，两式相减，得当时，取，则有；当时，取，则有31．设在上二阶可导，且，证明：对任意的，有32．设二阶可导，，且，证明：对任意的，有33．设二阶可导，且，证明：当时，34．设，证明：由；再由，而，因此，即，从而35．设，证明：证明：一方面证明由于，因此令，，，由，而，因此，即措施一：由于，因此令，由，由于因此，即措施二：令，则存在，使得，其中，则，因此36．证明不等式37．设在内可导且，证明：证明：令，则在内可导，又，，因此当时，，因此有38．证明：对任意的，且，有39．设在上可导，当时，，证明：方程在内有且仅有一种实根40．设证明：（1）方程在上有唯一的实根；（2）求41．设在上二阶可导，且，证明：方程在内有根证明：令42．设为常数，方程在内恰有一根，求的取值范畴解：令，1）若，由，又，因此原方程在恰有一种实根；（2）若，，又，因此原方程也恰有一种实根；（3）若，，令，又，所觉得的最大值，令，得，因此的取值范畴是43．证明方程在内有且仅有两个不同的实根第三讲 一元函数积分学一、 重要的概念1．原函数—设与为两个函数，若，则称为的一种原函数。

注解：（1）持续函数一定存在原函数；（2）有第一类间断的函数一定不存在原函数，有第二类间断点的函数也许存在原函数；（3）任意两个原函数之间相差常数2．不定积分—设存在原函数，则其所有的原函数称为的不定积分，记为，即注解：（1）； （2）3．定积分二、重要的定理1．积分基本定理的引理设，令，则；2．积分基本定理设，且为的一种原函数，则三、重要的积分性质（一）定积分基本性质1．；2．；3．；4．；5．设，则；推论1 若，则；推论2 若，则；6．设在上可积，且，则；7．设，则存在，使得；8．（1）设，且，则；（2）若，且不恒为零，则；（3）若，，且与不恒等，则；9．设，则二）定积分的特殊性质1．设为持续函数，则，特别地，，且；2．；3．；4．；5．设是觉得周期的持续函数，则对任意的实数有（1）； （2）；6．设，则（1）；（2）若，则；（3）若，则四、积分法1．换元积分法；2．分部积分法：，五、定积分的应用1．平面区域的面积（1）设，则；（2）设，则；（3），则；（4）曲线，则绕轴一周所得旋转曲面的表面积为；2．旋转体的体积分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体的体积为， ；3．截口面积已知的几何体的体积设几何体位于与之间，对任意的，其截口面积为，则该几何体的体积为。

4．曲线段的长度（1）设，则，；（2）设，则，；（3）设，则，六、常用题型1．计算下列不定积分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）2．设函数持续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是 （ ）； ；； 3．（1）计算； （2）；（3）； （4）；（5）4．设，求5．设在上可微，且证明：存在，使得6．设，证明：存在，使得7．设是觉得周期的。