基于短时分数阶傅里叶变换的谱分割算法.doc

基于短时分数阶傅里叶变换的谱分割算法 卢广阔 中国西南电子技术研究所 摘 要： 多分量非线性调频信号在现代通信和雷达系统中应用越来越广泛, 而对其进行有效分析识别的常用算法就是短时分数阶傅里叶变换 (Short Time Fractional Fourier Transform, STFRFT) .文章首先讨论了 STFRFT 的圆特性, 证明了它基于高斯旋转窗的非圆性并给出了修正的圆的 STFRFT 定义;在此基础上研究了时频变换后不同时频点的谱峭度, 进而推导出了区域集的谱峭度, 并将该区域谱峭度作为谱图上某区域内是否含有信号点的检测因子;最后基于区域集谱峭度的区域增长算法被用于从谱图中盲分割识别出各个非线性调频分量信号.仿真实验验证了所提算法的有效性和鲁棒性.关键词： 短时分数阶傅里叶变换 (STFRFT) ; 非线性调频信号; 区域增长算法; 谱峭度; 作者简介：卢广阔 (1983—) , 男, 河北人, 2016 年获电子科技大学信号与信息处理博士学位, 主要研究方向为通信信号侦察、多分量信号分析识别等.E-mail:guangkuolu@收稿日期：2017-03-07A new spectral segmentation algorithm based on short time fractional Fourier transformLU Guangkuo Southwest China Institute of Electronic Technology; Abstract： The short time fractional Fourier transform (STFRFT) is a useful tool for the research on analysis and recognition of multi-component non-linear frequency modulation (NLFM) signals, which have been presented on a lot of communication systems and radar systems.This paper investigates the noncircularity of STFRFT coefficients, and proposes a modified STFRFT such that all coefficients coming from white Gaussian noise are circular.In order to use the spectral kurtosis (SK) as a Gaussian test to check if signal points are present in a set of STFRFT points, we study the SK of different points in the time-frequency transform figure, and propose the definition of the local SK.Finally, a time-frequency segmentation algorithm based on the region growing by the local SK is proposed to separate the multicomponent NLFM signals.The effectiveness and robustness of this algorithm are evaluated via simulations.Keyword： short time fractional Fourier transform; non-linear frequency modulation signals; region growing algorithm; spectral kurtosis; Received： 2017-03-07引言非线性调频 (Nonlinear Frequency Modulation, NLFM) [1]信号指的是瞬时频率随时间非线性变化的一类非平稳信号, 它广泛存在于现代雷达、语音、生电和地震物理等领域中.由于多个 NLFM 信号的分析识别技术具有重大的实用价值, 国内外学者对此进行了大量的研究和探索.但该类信号的形式复杂多变, 且常常被淹没在噪声之中, 这使得对该类信号的分析识别首先需要将信号分量从噪声中检测出来, 其次需要将多个 NLFM 信号分离开来.显然, 这是一个非常有难度的问题, 因为现有的各类时频分析方法在此类应用中常常存在这样那样的缺陷和不足[2].短时分数阶傅里叶变换 (Short Time Fractional Fourier Transform, STFRFT) [3]是一种新提出的较为有效的时频表示方法, 它对于NLFM 信号具有较好的时频聚焦性, 并对交叉项也具有较强的抑制作用.另外, 基于短时傅里叶变换 (Short Time Fourier Transform, STFT) 的谱分割算法作为一种有效地从谱图中自适应提取信号分量的新算法[4], 已经成功地应用于自适应语音识别之中.在本文中, 为了将 STFRFT 用于多分量 NLFM 信号的盲分析识别, 本文拟将谱分割算法[5]引入其中, 研究基于 STFRFT 的谱分割新算法.本文的第一部分给出了将多分量 NLFM 信号建模成确定性信号分量的混合模型, 并讨论了为什么时频变换要满足圆特性.第二部分主要研究了 STFRFT 的变换特性, 给出了高斯白噪声和 NLFM 信号分量经过变换后的统计特性;为了更好地用于谱分割, 我们给出了一个修正的圆的 STFRFT, 它使得变换后的所有复高斯噪声变量都是圆的.第三部分进一步讨论了修正 STFRFT 后噪声点和含信号分量点的谱峭度差异, 并推导出了区域谱峭度的表达式.最后给出了基于区域增长的STFRFT 谱分割算法, 并进行了仿真验证.1 信号模型假定在均值为 0、方差为 σ w的高斯白噪声 w (n) 环境下, L 个 NLFM 信号的混合模型可离散表示为[6]式中:s (n) 为混合信号分量;l 为各分量信号的对应序号;b l为各分量信号的幅度;a il (i=0, 1, 2, 3) 为第 l 个 NLFM 信号的相位系数;N 为采样点数.进一步, 假定离散时间序列 x (n) 是一个确定性离散序列 s (n) 和一个方差为σ w的零均值高斯白噪声序列 w (n) 的序列和, 则 x (n) 可以被建模成[7]式中: 表示均值为 s (n) 、方差为 σ w的独立高斯随机序列.此时, 该序列的 α 阶离散 STFRFT 后的功率谱系数 Pα [m, k]满足式中:X α [m, k]和 Xα [m, k]分别表示 x (n) 的 α 阶离散 STFRFT 系数 Xα [m, k]的实部和虚部.此时, 当且仅当离散 STFRFT 是圆的, 零均值高斯白噪声 w (n) 的 α 阶离散STFRFT 功率谱系数 Pα [m, k]才满足自由度为 2、比例参数为 σ w/2 的中心 χ2分布[8]:同样的, 当且仅当离散 STFRFT 是圆的, 采样数据 x (n) 的 α 阶离散 STFRFT功率谱系数 Pα [m, k]才满足自由度为 2、非中心参数为 Pα [m, k]、比例参数为σ w/2 的非中心 χ 2分布[7]: , 其中 Pα 为混合信号中确定性信号分量 s (n) 的 α 阶离散 STFRFT 功率谱.此时在时频域上, 含有信号分量的噪声点的功率谱系数满足非中心 χ 2分布, 而只含有噪声分量的点满足中心 χ 2分布.这种概率分布不同的特性在本文中被用来分离信号和噪声.2 STFRFT 的圆特性作为分析 NLFM 信号的一种有效方法, STFRFT 算法可以通过改变其窗函数的宽度和调频斜率来提高时频聚焦性.其基于时频域的一般定义为[9]式中:u 为分数阶傅里叶域的索引;h α, σ (τ) 为高斯旋转窗函数, 该窗函数可以通过改变参数 σ 和 α 来分别控制窗的宽度和调频斜率, 进而改变 STFRFT 算法对时频域多分量信号的分析识别性能.显然, 选择一个最优的窗参数是该变换算法的核心, 为此研究人员提出了各种选取准则.其中从时频联合分布的角度出发, 选择最优窗参数一般是基于最大时频分辨率和最小时频支撑两种准则[6].在理论分析中, 由第一种准则可推出, 当且仅当窗函数为高斯窗时, STFRFT 具有最大时频分辨率 2/|sinα|;而考虑第二种准则, 当信号具有最小时频支撑时, 可得窗函数[10]式中:T 为时宽;B α 为信号在 α 阶分数阶傅里叶域的频宽.2.1 旋转高斯窗的谱密度对离散时间序列 x (n) 进行 M 次 STFRFT, 则其时频谱可以认为由 M 次复值傅里叶变换构成, 取冗余点数为 0, 则表示为式中:N h为分析窗的宽度;X α, σ [m, k]和 Xα, σ [m, k]分别表示 Xα, σ [m, k]的实部和虚部.为了更好研究旋转高斯窗的性质, 假定信号 x (n) 为高斯白噪声 w (n) , 且其均值为 0, 方差为 σ w.并取能量归一化窗, .那么, 该分析窗的尺度因子 Uh为则高斯白噪声信号 w (n) 的离散加窗傅里叶变换的功率谱密度 Pα, σ [m, k]为[8]式中:0 矩阵的大小可以调节与窗宽配对;C 和 S 来自变换核的正弦和余弦, 且有向量 w=[w0, w1, …, wNh-1]是由零均值高斯分布函数构成的协方差矩阵向量;W α, σ [m, k]和 Hα, σ [m, k]分别表示噪声信号 w (n) 和分析窗函数 hα, σ (n) 的离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT) ;*表示卷积.对于高斯旋转窗, 定义 γ[m, k]矩阵满足对 γ[m, k]进行特征值分解, 可得其非零特征值 λ α, σ 满足[8]为了描述旋转高斯窗的非零特征值随时间和频率的变化情况, 进一步取 λ α, σ (γ[m, k]) =max (λ 1, λ 2) , 并对其做仿真, 仿真结果如图 1 所示.其中, 横坐标为采样点数 m, 纵坐标为频点 k, 不同颜色表示不同时频点的非零特征值λ α, σ (γ[m, k]) , 其中深红色表示值为 1, 白色表示值为 0.5.图 1 旋转高斯窗的 λα, σ[m, k]随参数 m 和 k 的变化 下载原图从图 1 可以看出:越是接近旋转高斯窗频域中间的点, 其非零特征值越逼近 0.5, 则 (λ 1, λ 2) 越对称;相反, 越是远离旋转高斯窗频域中心的点, 其非零特征值越逼近 1, 则 (λ 1, λ 2) 越不对称.因此, 对于旋转高斯窗, 高斯白噪声信号 w (n) 的离散加窗傅里叶变换的功率谱密度 Pα , σ [m, k]满足[8]式中:U (·) 表示均匀分布;I 0为贝塞尔函数.2.2 基于旋转高斯窗的 STFRFT 的非圆特性及修正定义方差为 σ w的零均值高斯白噪声 w (n) 的 STFRFT 系数 Wα, σ [m, k]的实部和虚部分别为 Wα , σ [m, k]和 Wα, σ [m, k].由 STFRFT 的定义可得, 它们都是Nh个独立高斯变量的和.根据中心极限定理, 它们也满足零均值高斯分布, 而其方差分别为:式中, var (·) 表示取方差.为了进一步比较 Wα , σ [m, k]和 Wα, σ [m, k]的二阶统计量以及它们之间的相关性, 定义同样的, 上述两式可以重写成:式中, 函数 Φ α, σ [m, k]满足显然, 对于任何一个时频点。