第十八隐函数定理及其应用.ppt

第十八章 隐函数定理及其应用一、第十八章主要思想内容：一、第十八章主要思想内容：1．研究一个给定的方程．研究一个给定的方程在指定的区域（范围）内是否可以确定（表示）一个函数（隐函数）在指定的区域（范围）内是否可以确定（表示）一个函数（隐函数）通俗地说，在指定的区域（范围）内，通俗地说，在指定的区域（范围）内，方程方程是否有唯一解是否有唯一解2．若方程．若方程有指定的区域（范围）内确定一个隐函数有指定的区域（范围）内确定一个隐函数则其分析性质如何（是否连续、可微）？则其分析性质如何（是否连续、可微）？ 如何求其隐函数的导数？如何求其隐函数的导数？三、隐函数存在定理三、隐函数存在定理定理定理18.1 若满足下列条件若满足下列条件:函数函数在以在以为内点的某一区域为内点的某一区域上连续上连续;(满足初始条件满足初始条件);在在内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数则在则在的某邻域的某邻域内内,方程方程惟一地确定了一个惟一地确定了一个定义在某区间定义在某区间内的函数内的函数(隐函数隐函数)使得使得时时且且在在内连续内连续.隐函数存在性定理的四个条件隐函数存在性定理的四个条件:函数函数在以在以为内点的某一区域为内点的某一区域上连续上连续;(满足初始条件满足初始条件);在在内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数注：注：(1) 定理的条件是充分的，但不必要定理的条件是充分的，但不必要.例例方程方程 在在(0,0)的邻域内不满足的邻域内不满足4），但仍能确定出隐函数），但仍能确定出隐函数(2) 条件条件3)和和4)可减弱为可减弱为“在在的邻域内关于的邻域内关于严格单调严格单调”.(3) 若将若将3)和和4)改为改为3) 在在D内有连续的偏导数内有连续的偏导数4) 则方程则方程可确定唯一的连续函数可确定唯一的连续函数 例例1已知方程已知方程由于由于及其偏导数及其偏导数在平面上任一点都连续，且在平面上任一点都连续，且由隐函数存在定理唯一性性定理，方程由隐函数存在定理唯一性性定理，方程确定了一个定义在确定了一个定义在上的连续函数上的连续函数例例2讨论方程讨论方程能否在原点某邻域内确定隐函数能否在原点某邻域内确定隐函数解解:设设由于由于及其偏导数及其偏导数都在原点的邻域连续，都在原点的邻域连续， 且且由隐函数存在唯一性定理，由隐函数存在唯一性定理， 方程方程确定了一个定义在原点某邻域确定了一个定义在原点某邻域隐函数隐函数例例3 讨论方程讨论方程能否在原点某邻域内确定隐函数能否在原点某邻域内确定隐函数解解:设由于由于及其偏及其偏导数数都在原点的都在原点的邻域域连续，， 且且但但故无法根据存在唯一性定理得到故无法根据存在唯一性定理得到结论性的性的结果果 .四、隐函数可微性定理四、隐函数可微性定理定理定理2 若若满足定理满足定理1的四个条件的四个条件, 又在又在D上存在连续的偏导数上存在连续的偏导数则由方程则由方程确定的隐函数确定的隐函数在在内有连续的导数内有连续的导数,且且(可直接对方程可直接对方程两边求全微两边求全微,得得进而可求其导数进而可求其导数.））证明思路证明思路:设方程设方程(1)确定的隐函数为确定的隐函数为与与都属于都属于对应的函数值对应的函数值与与都属于都属于(可直接对方程可直接对方程两边求全微两边求全微,得得进而可求得上述公式）进而可求得上述公式）证明思路证明思路:设方程设方程(1)确定的隐函数为确定的隐函数为与与都属于都属于对应的函数值对应的函数值与与都属于都属于则则其中其中(由二元函数中值定理由二元函数中值定理)注意到注意到的连续性的连续性, 令令取极限即可得结论取极限即可得结论. 解解令令则则例例4设方程设方程由于由于及其偏导数及其偏导数在平面上任一点都连续，且在平面上任一点都连续，且由隐函数存在定理与隐函数可微性定理，由隐函数存在定理与隐函数可微性定理， 方程确定了一个定义在方程确定了一个定义在上的连续可导函数上的连续可导函数且且例例5讨论方程讨论方程能否在原点某邻域内确定隐函数能否在原点某邻域内确定隐函数解解:设设由于由于及其偏导数及其偏导数都在原点的邻域连续，都在原点的邻域连续， 且且由隐函数存在唯一性定理，由隐函数存在唯一性定理， 方程方程确定了一个定义在原点某邻域确定了一个定义在原点某邻域连续且可微的隐函数连续且可微的隐函数且且解解令令则则均连续。

均连续函数的一阶和二阶导数为函数的一阶和二阶导数为例例6 讨论笛卡儿叶形线讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数所确定的隐函数的一阶与二阶导数的一阶与二阶导数例例6 讨论笛卡儿叶形线讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数所确定的隐函数的一阶与二阶导数的一阶与二阶导数解：解：曲线在曲线在处的点，方程能确定隐函数处的点，方程能确定隐函数曲线曲线上上的点为的点为两边对两边对x求导，得求导，得由此解得由此解得（（1））(1)式两边对式两边对x求导，得求导，得（（2））由此解得由此解得将（将（2）代入，化简后得）代入，化简后得注意到注意到得得定理定理18.3 若若(i)函数函数在以点在以点为内点的区域为内点的区域上连续上连续;(ii) (iii)在在内存在且连续内存在且连续; (iv) 则在点则在点的某邻域的某邻域内内,方程方程了一个定义在了一个定义在的某邻域的某邻域内的内的唯一确定唯一确定元连续元连续函数函数(隐函数隐函数)使得使得当当时时,且且在在内有连续偏导数内有连续偏导数:而且而且例例7 讨论方程讨论方程（（13））在原点的附近所确定的函数及其偏导数在原点的附近所确定的函数及其偏导数. 解解: 由于由于且各偏导函数且各偏导函数处处连续处处连续,又又由隐函数定理由隐函数定理18.3, 在原点附近能唯一确定连续可微的隐函数在原点附近能唯一确定连续可微的隐函数且且五、反函数的存在性与其导数五、反函数的存在性与其导数隐函数存在唯一性定理隐函数存在唯一性定理:函数函数在以在以为内点的某一区域为内点的某一区域上连续上连续;(满足初始条件满足初始条件);在在内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数则在则在的某邻域的某邻域内内,方程方程惟一地确定了一个惟一地确定了一个定义在某区间定义在某区间内的函数内的函数(隐函数隐函数)例例4 设函数设函数在在的某邻域内有连续的导数的某邻域内有连续的导数且且问题：问题：（（1）函数）函数在在的某邻域内存在反函数的条件是什么的某邻域内存在反函数的条件是什么?（（2）反函数的导数？）反函数的导数？解：解： 令令则则隐函数存在定理的条件隐函数存在定理的条件 1），），2），），3））.例例4 设函数设函数在在的某邻域内有连续的导数的某邻域内有连续的导数且且问题：问题：（（1）函数）函数在在的某邻域内反函数的条件是什么的某邻域内反函数的条件是什么?（（2）反函数的导数？）反函数的导数？解：解： 令令则则隐函数存在定理的条件隐函数存在定理的条件 1），），2），），3））.若若则方程则方程在在的某邻域内确定隐函数的某邻域内确定隐函数就是函数就是函数的反函数的反函数.而而即为即为且且。