高考第一轮复习数学：73对称问题.docx

2 2x x0=k · +b，高考第一轮复习数学： 7.3 对称问题●知识梳理1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点， 题是线段中点坐标公式的应用问题 .设 P（x0， y0），对称中心为 A（a， b），则 P 关于 A 的对称点为因此中心对称的问P′（ 2a －x0， 2b－ y0） .2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标 .一般情形如下： 设点 P （x0， y0）关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′（ x′，.利用“垂直” “平分”这y′） ，则有y y0x x0· k= － 1，可求出 x′、 y′ .y y 0 x x02 2特殊地，点 P （x0， y0）关于直线 x=a 的对称点为 P ′（ 2a－ x0， y0）；点 P（x0， y0）关 于直线 y=b 的对称点为 P ′（ x0， 2b－ y0） .3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化） .一般结论如下：（ 1）曲线 f （x， y） =0 关于已知点 A（a， b）的对称曲线的方程是 f （2a－x， 2b－y） =0.（2）曲线 f （x， y） =0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法：设曲线 f（x， y） =0 上任意一点为 P（x0， y0）， P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′ （y， x），则由（ 2）知， P 与 P′的坐标满足y y0 · k= － 1，从中解出 x0、 y0，y0 y =k · x0 x +b，代入已知曲线 f （x， y） =0，应有 f（x0， y0） =0.利用坐标代换法就可求出曲线 f （x， y） =0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线方程 .4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（ 1）点（ x， y）关于 x轴的对称点为（ x，－ y）；（2）点（ x， y）关于 y轴的对称点为（－ x， y）；（ 3）点（ x， y）关于原点的对称点为（－ x，－ y）；（4）点（ x， y）关于直线 x－ y=0 的对称点为（ y， x）；（ 5）点（ x， y）关于直线 x+y=0 的对称点为（－ y，－ x） .●点击双基1.已知点 M （a， b）与 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称，点 Q 与点 P 关于 直线 x+y=0 对称，则点 Q 的坐标为A. （a， b） B. （b， a） C. （－ a，－ b） D . （－ b，－ a） 解析： N （a，－ b）， P （－ a，－ b），则 Q （b， a）．答案： B2. （2004 年浙江，理 4）曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是m n解：由 3x+4y－ 1=0，31 11125 p23 3 .4 43 34 4A.y2=8 －4xC.y2=16 －4xB.y2=4x－ 82D .y =4x－ 16解析：设曲线 y2 =4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P （x， y）， 则 P （x， y）关于直线 x=2 的对称点为 Q （4－x， y） .因为 Q （4－ x， y）在曲线 y2=4x 上，所以 y2=4 （4 －x），即 y2 =16－ 4x .答案： C3.已知直线 l 1： x+my+5=0 和直线 l2： x+ny+p=0 ，则 l 1、 l2 关于 y 轴对称的充要条件是A. = m nB.p= －5C.m= －n 且 p= －5D . = － 且 p= －5解析： 直线 l 1 关于 y 轴对称的直线方程为 （－ x） +my+5=0， 即 x－ my －5=0， 与 l2 比较，∴m= －n 且 p=－ 5.反之亦验证成立 .答案： C4.点 A （4， 5）关于直线 l 的对称点为 B （－ 2， 7），则 l 的方程为 ____________.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线 .答案： 3x－ y+3=05.设直线 x+4y －5=0 的倾斜角为 θ ，则它关于直线 y －3=0 对称的直线的倾斜角是____________.解析：数形结合 .答案：π－ θ●典例剖析【例 1】 求直线 a： 2x+y－4=0 关于直线 l： 3x+4y －1=0 对称的直线 b 的方程 .剖析：由平面几何知识可知若直线 a、 b 关于直线 l 对称，它们具有下列几何性质： （ 1）若 a、 b 相交，则 l 是 a、 b 交角的平分线； （2）若点 A 在直线 a 上，那么 A 关于直线 l 的对 称点 B 一定在直线 b 上， 这时 AB⊥l， 并且 AB 的中点 D 在 l 上； （3）a 以 l 为轴旋转 180°，一定与 b 重合 .使用这些性质， 可以找出直线 b 的方程 .解此题的方法很多， 总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件， 选择适当的直线方程的形式， 求出直线方程； 另一类是直接由轨迹求方程 .2x+y－ 4=0， 解得 a 与 l 的交点 E（3，－ 2）， E 点也在 b 上 .方法一：设直线 b 的斜率为 k，又知直线 a 的斜率为－ 2，直线 l 的斜率为－ .4则 1( 2) k ( )=( ) ( 2) 1 k( )解得 k= － .11代入点斜式得直线 b 的方程为y－（－ 2） = － （x－ 3），+4 ×24=858x x0=y y025 25解得 x0==即 2x+11y+16=0.方法二：在直线 a： 2x+y －4=0 上找一点 A（2， 0），设点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐 标为（ x0， y0），3×由y0 x02 x0 00 4= ，2 3y02－ 1=0，解得 B （ ，－ 5由两点式得直线y ( 2) x2 ( ) 3） .5b 的方程为3，45即 2x+11y+16=0.方法三：设直线3× +4 ×2y y0 4x x0 3 .b 上的动点 P （x， y）关于 l： 3x+4y － 1=0 的对称点 Q （x0， y0），则有－ 1=0，27x 24y 6， y0= 24x 7y 8 .25 25Q （x0， y0 ）在直线 a： 2x+y－ 4=0 上，则 2 × 7x 24y 6 + 24x 7y 8 －4=0，化简得 2x+11y+16=0 是所求直线 b 的方程 .方法四：设直线 b 上的动点 P （x， y），直线 a 上的点 Q （x0， 4 －2x0），且 P、 Q 两点 关于直线 l： 3x+4y－ 1=0 对称，则有| 3x 4y 1 | | 3x0=54(4 2x0 ) 1|，5y (4 2x0 ) 4x x0 3 .消去 x0，得 2x+11y+16=0 或 2x+y －4=0 （舍） .评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点 E 外，分别找出确定直线位置的另一个条件： 斜率或另一个点， 然后用点斜式或两点式求出方程， 方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，意区分动点坐标及参数， 本题综合性较强，形结合能力才能较好地完成此题 .直接由轨迹求方程， 在使用这种方法时， 要注只有对坐标法有较深刻的理解， 同时有较强的数【例 2】 光线从点 A （－ 3， 4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B （－ 2， 6），求射入 y 轴后的反射线的方程 .剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称 .解：∵ A （－ 3， 4）关于 x 轴的对称点 A1 （－ 3，－ 4）在经 x 轴反射的光线上，2x+2y－ 7=0， 5 97x －2y+2=0， 2 45 9 。